DP - 區間DP - NOIP 2006 - 能量項鍊

DP - 區間DP - NOIP 2006 - 能量項鍊

在Mars星球上，每個Mars人都隨身佩帶着一串能量項鍊，在項鍊上有 N 顆能量珠。

能量珠是一顆有頭標記與尾標記的珠子，這些標記對應着某個正整數。

並且，對於相鄰的兩顆珠子，前一顆珠子的尾標記一定等於後一顆珠子的頭標記。

因爲只有這樣，通過吸盤（吸盤是Mars人吸收能量的一種器官）的作用，這兩顆珠子才能聚合成一顆珠子，同時釋放出可以被吸盤吸收的能量。

如果前一顆能量珠的頭標記爲m，尾標記爲r，後一顆能量珠的頭標記爲 r，尾標記爲 n，則聚合後釋放的能量爲 mrn（Mars單位），新產生的珠子的頭標記爲 m，尾標記爲 n。

需要時，Mars人就用吸盤夾住相鄰的兩顆珠子，通過聚合得到能量，直到項鍊上只剩下一顆珠子爲止。

顯然，不同的聚合順序得到的總能量是不同的，請你設計一個聚合順序，使一串項鍊釋放出的總能量最大。

例如：設N=4，4顆珠子的頭標記與尾標記依次爲(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。

我們用記號⊕表示兩顆珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第 j，k 兩顆珠子聚合後所釋放的能量。則

第4、1兩顆珠子聚合後釋放的能量爲：(4⊕1)=1023=60。

這一串項鍊可以得到最優值的一個聚合順序所釋放的總能量爲((4⊕1)⊕2)⊕3）= 1023+1035+10510=710。

輸入格式
輸入的第一行是一個正整數 N，表示項鍊上珠子的個數。

第二行是N個用空格隔開的正整數，所有的數均不超過1000，第 i 個數爲第 i 顆珠子的頭標記，當i<N時，第 i 顆珠子的尾標記應該等於第 i+1 顆珠子的頭標記，第 N 顆珠子的尾標記應該等於第1顆珠子的頭標記。

至於珠子的順序，你可以這樣確定：將項鍊放到桌面上，不要出現交叉，隨意指定第一顆珠子，然後按順時針方向確定其他珠子的順序。

輸出格式
輸出只有一行，是一個正整數 E，爲一個最優聚合順序所釋放的總能量。

數據範圍
4≤N≤100,
1≤E≤2.1∗10⁹

輸入樣例：
4
2 3 5 10
輸出樣例：
710

---

分析：

$本題類似於矩陣連乘問題。$

$事實上，對4個矩陣(2,3),(3,5),(5,10),(10,2)可由5個數：2,3,5,10,2來單獨確定，這就轉化到求區間最大收益問題上來。$

$選擇何種計算順序，就是在選擇矩陣相乘的分界點。$

$這與$——《石子合併》$又類似。$

$對n個矩陣相乘，有n-1種劃分的方法(n-1個分界點)，取這些劃分的最大值即可。$

$狀態表示：f[i][j]：表示區間[i,j]內矩陣的乘積的和。$

$狀態計算：\\選取分界點k，對區間[l,r]的最大乘積和即:f[l][r]=min(f[l][k]+f[k][r]+w[l]×w[k]×w[r])，k∈[l+1,r-1]。$

注意：

$這裏的區間長度是n+1：例如2,3,5,10應當是擴展成2,3,5,10,2來處理。\\那麼只有當區間長度大於等於3時才需要進行計算。$

$另外兩側矩陣的乘積和應當是f[l][k]和f[k][r]，中間的分界點是前一個矩陣的列，是後一個矩陣的和。$

代碼：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=210;

int n,w[N],f[N][N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    {
        cin>>w[i];
        w[i+n]=w[i];
    }
    
    for(int len=3;len<=n+1;len++)
        for(int l=1;l+len-1<=2*n;l++)
        {
            int r=l+len-1;
            for(int k=l+1;k<r;k++)
                f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+f[k][r]+w[l]*w[k]*w[r]);
        }
        
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,f[i][i+n]);
    
    cout<<res<<endl;
    
    return 0;
}