最近剛好回看了一下KMP算法，對KMP算法有了更深的理解，於是在這裏記錄一下，使用清晰的文字，將自己的理解記錄歸納，目的是讓沒有看過KMP算法的能夠通過此文理解KMP算法，因爲我自己有可能某一天也會忘記。所以此文要能夠令自己從一個“無知”的狀態到理解。甚至進行代碼的實現。
前置
待搜索串： Sn=S0S1S2…Sn。如：abbaabbaaba
待匹配串：Pm=P0P1P2…Pn。如：abbaaba
從暴力匹配講起
暴力匹配： 對 待搜索串每個位置，都進行待匹配串的搜索，當前位置不匹配，則到下一個位置進行查找。即，從S0開始查找Pm，查不到則在S1再查Pm，直到 S(n-m)的位置，Pm每次都從P0開始匹配。
最差時間複雜度：遍歷 n-m 的位置，每個位置進行 m 次比較。 即， (n-m) * m
例如： Sn= aaaaaaaaab，Pm=aab
說明：暴力匹配並非一無是處，思路比較清晰簡單，因此代碼實現也比較簡單，在 子串較小時是有用的（如m=1）。
優化方向：減少已經做過的事。如：走過的S位置不要再走，不要每次都從P0位置開始匹配。
字符串匹配的第一次優化
從暴力匹配中，如 Sn= aaaaaaaaab，Pm=aab，可以發現，從S的位置，每次匹配完，即使匹配到P的最後一個位置不匹配，假設S的位置爲x，S已經走了x+m了，但是還是會回到x+1處，重新匹配。因此，這是一個浪費的地方。假設P的位置爲y ，我們能不能從 S的x+y處位置接下去操作，即S不發生回退。
當然 x , y的限制條件很明顯，這裏只點一下，y<=m
順着S不發生回退的方向，就可以進行第一次的優化。
考慮一下：其實，S 從 x+y 位置的字符是什麼我們已經知道了的。即子串P的0到y的位置，所以即使S即使不回退，我們也有了 S(x+y)的知識，我們接下來就應該利用這些知識讓S不回退。
再考慮一下：假設S從x+1的位置開始匹配了P，最後還是需要比較Sx+y的位置的。那麼此時，匹配S(x+y)應該與P(y-1)進行比較，那麼，我們可以先進行 S(x+y)與P(y-1) 的比較
如果 S(x+y)與P(y-1) 不匹配，那麼 S(x+1)的位置已經不可能匹配子串，如果不匹配，S的x-y的位置都可以這樣子判斷，如果匹配，就要進行另外的展開判斷。
如果 S(x+y)與P(y-1)匹配，如果我們能通過這些已有的條件進行驗證是否接下來是否匹配，那麼，我們就確實不再需要進行 S的回退了。
那麼，我們能夠驗證嗎？還知道我們第一個考慮嗎，我們是擁有 Sx到S(x+y)的知識的。即接下來要知道的Sx到S(x+y)的知識我們都有，所以我們是可以驗證。
爲了便於理解，我們假設 n=10，m=5，x=0，y=4，由於我們不回退，假設S1是可能是合法匹配的開始（即x=1），並驗證了 S4=P3，那麼如果 S1S2S3=P0P1P2，即 可得 S1S2S3S4=P0P1P2P3，而驗證 S1S2S3=P0P1P2 是否正確，我們是有辦法的，因爲我們上一次匹配的知識裏面已經知道了 S1S2S3 (即 P1P2P3)，那麼，確實匹配，我們就可以接下去比較S5和P4了，這部分是屬於常規操作了。
如果不匹配，那麼就是接下去的嘗試了，即x=2時的情況，直到嘗試完。最後確實不匹配，S的位置爲S(x+y+1)，P的位置從0開始。
通過這個驗證，我們將不用再回退S，將 S與 P 進行了分離（驗證前面的部分是否匹配不再與S有關）。進行了一次優化。
字符串匹配的第二次優化
由於第一次優化我們已經把 S 和 P 進行了分離（驗證前面的部分是否匹配不再與S有關）（後半部分是否匹配我們沒做過驗證，這一部分是沒法少的，不是優化的方向），所以，接下來的優化也與S無關。
在我們操作的過程中，我們發現，可能要重複驗證 P 某個範圍的值是否相等。
如：還是上面的例子。由於上一次匹配的x=0，y=4， 可得： S0S1S2S3 = P0P1P2P3，即可得 S1S2S3 = P1P2P3。 而當前要從x=1匹配要驗證 S1S2S3=P0P1P2 是否正確。 即 S1S2S3=P1P2P3 = P0P1P2 。 那麼，下次y爲另外值的時候，又用到這樣的比較，即可能 P1P2P3=P0P1P2經常在重複比較，並且有些比較是多餘的，因爲我是可以提前直到 P1P2P3 ！=P0P1P2的，所以我們可以提前處理P，產生一個位置對照表（從0到m的最長重複串位置，我們後面再說一下這個對照表怎麼產生，現在先跳過）。這樣，下次就可以從y位置通過對照表得到另一個位置 y’，直接比較 S(x+y)與S(y’) 就可以直接直到前面是否匹配，而不用P(y-1)一次次比較，如果不匹配，則y’ 可能有 y’’ ，如果沒有，那麼說明前面都不可能匹配，進入 S(x+y+1)的流程。這樣，通過預處理對照表，大大減少了子串的比較。
對照表的產生：我把這個表理解成0-m每個位置從0開始的最長重複子串的位置。即：m=y時，存在 i ，使 P0…Pi = P(m-i) P(m-i-1)…Py，當然，i 不能和y相等，對照表存放的就是每個位置的 i 值。舉幾個例子。如下，此處i不存在時記爲*
aab *1*
abcabcacab ***0123*01
這裏找y位置 i 的值簡單直接一點的算法思路：
y=0時，*
y>0時，假設 i=y-1，那麼 Py-1 =Py，Py-2=Py-1…假設i=y-2，那麼 Py-2=Py，Py-3=Py-1…最後可以得到 i 的確定值。
通過對照表，我們把子串匹配的驗證也進行了優化。
KMP算法
KMP算法的基本原理即爲上面的兩次優化。即：
不回溯S，將前部分匹配判斷留給子串
用預處理對照表，減少子串判斷。
空間複雜度：O(m) 存放對照表。
時間複雜的：O(n+m)
寫到最後
重新看了一下，並按照自己的理解寫了一下。對這個算法總算能夠很清晰的描述出來了，知其然。搭配一些圖片精簡一些文字可能更好一點。