數學分析 - 函數的連續性

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連續性的概念

爲了引入函數連續性的多種定義，我們記△x爲x的增量

|| 定義一：函數在一點上連續性定義（極限）
設函數f在某U(x0)內有定義，若lim_x–>x0f(x) = f(x0)，則稱f在點x0處連續

|| 定義一的另一種形式：函數在一點上連續性定義（引入增量的極限）
設函數f在某U(x0)內有定義，若lim_△x–>0（△y） = 0，則稱f在點x0處連續

|| 定義一的等價定義：函數在一點上連續性的ε - ∂定義
若對任給的ε>0，存在∂>0，使得當| x - x₀ | < ∂, 都有 | f(x) - f(x0) | < ε，則稱f在點x0處連續
(注意與函數極限的定義中的區別： 以爲x=x0是顯然成立的，定義域不爲空心領域，故轉換爲表達式時，有 | x - x₀ | < ∂，而非 0 < | x - x₀ | < ∂)

|| 極限與連續的關係：在x0連續其實就是在x0上的極限等於f(x0)。

|| f在x0無定義時，在x0可以極限，但是不可能有連續

|| 定義二：函數在一點上的左右連續
設函數在U⁺(x0) / U^-(x0) 內有定義，若滿足：
，則稱f在x0有右/左連續

|| 定理1：函數f在點x₀連續的充要條件是：f在x0即是左連續，又是右連續

|| 定義三：間斷點的定義
設函數在U⁰（x0）內有定義，若滿足任一個條件：

• f 在點x0無定義
• f 在x0極限不存在
• f 在點x0有定義但是不連續（lim_x–>x0f(x) != f(x0)）
  即可稱點x0爲間斷點或不連續點

|| 間斷點的分類：
第一類間斷點(左右極限都存在)：可去間斷點，跳躍間斷點
第二類間斷點(左右極限不都存在)

|| 可去間斷點的定義：
若函數 f 滿足下列任一條件：
- f 在x0有極限，但在點x0無定義
- f在點x0有定義，但是不連續（lim_x–>x0f(x) != f(x0) ）
則稱其爲可去間斷點

|| 跳躍間斷點的定義：
若函數f 在點x0的左右極限都存在，但左極限不等於右極限，則稱點x0爲函數f的跳躍間斷點

|| 第二類間斷點的定義：
至少一側的極限不存在，即是第二類間斷點

|| 定義四：區間上的連續函數
若函數f在區間 I 上的每一個點都連續，則稱f爲區間 I 上的連續函數。
對於閉區間或半開半閉區間的端點，函數在這些點上連續是指左連續或右連續

|| 若函數f在區間[a, b]上僅有有限個第一類間斷點，那麼稱 f(x)在區間上分段連續

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函數連續的性質

連續函數的局部性質
（注意：連續函數必有極限，所以函數連續的性質可以類比函數極限的性質）

|| 定理2： 局部有界性
若函數 f 在點x0處連續，則f在某U（x0）內有界

|| 定理3：局部保號性
若函數 f 在點x0來連續，且f(x0) > 0，則對任何正數r < f（x0），存在某U（x0），使得對一切x∈U（x0），有f(x) > r

|| 定理4：四則運算
若函數f和g在點x0連續，則f±g，f*g，f / g ( g(x0) != 0)都在x0連續

|| 定理5：複合函數的連續性
若函數f在x0連續，g在h0（h0 = f（x0) ）連續，則複合函數g 。f 在x0上也連續

閉區間上連續函數的整體性質

以下討論設，函數f爲閉區間 D [a, b]上的連續函數

|| 定義五：設f爲定義在數集D上的連續函數，若存在x0∈D，使得對一切x∈D有f（x0） ≥f（x）
則稱f在D上有最大值。

|| 定理6： 最大，最小值定理（連續區間中必有區間最值）
若函數在閉區間D上連續，則函數f在D上有最大最小值。

|| 定理6（推論）：有界性定理
若函數 f 在閉區間D上連續，則函數 f 在D上有界

|| 定理7：介值性定理
若函數 f 在閉區間[a, b]上連續，且f（a） != f（b），若u 是f（a），f（b）上的任一實數，滿足f（a）> f ( u ) > f（b）或者f（b）> f ( u ) > f（a）。則至少存在一個點x0，使得f（x0） = u；

|| 定理7（推論）：根的存在性定理
若函數 f 在閉區間[a, b] 上連續，且f（a）f（b）< 0（即f(a)與f(b)異號），則至少存在一個點x0，使得f（x0）= 0（即至少有一個根）

反函數的連續性

|| 定理8：關於反函數連續性定理
若函數 f在[a，b]上嚴格單調並連續，則反函數在其定義域[f(a), f(b)] （或[f(b), f(a)]）上連續

一致連續性（一種更強的連續性。剔除雖連續但鉅變的連續函數）

|| 定義六：一致連續性的定義（類似柯西準則）
設f 爲定義在區間 I 上的函數，若對任給的ε>0，都存在∂ = ∂（ε）> 0，使得對於任一x1，x2∈ I，都有 | f（x1）- f（x2） | < ε，則稱函數 f 在區間 I 上一致連續

|| 定理9：一致連續性定理
若函數是在閉區間上連續的，那麼它在該閉區間一致連續

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初等函數的連續性

已知基本初等函數中，三角函數，反三角函數以及有理指數冪都是連續函數
現在我們討論指數函數，對數函數，和實指數冪函數的連續性

|| 定理10：指數函數的基本性質

|| 定理11：指數函數必連續
指數函數a^x （a > 0）在R上是連續的

|| 定理12：基本初等函數的連續性
一切的基本初等函數都是其定義域上的連續函數

|| 定理12（推論）：（因爲初等函數都是由基本初等函數經過有限次的四則運算和複合操作得出的）
一切的初等函數都是其定義域內上的連續初等函數。