數學分析 - 函數極限

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函數極限的概念

x趨於∞時的極限

|| 定義一：函數極限的ε - M定義
設f爲定義在[a，+∞）上的函數，A爲定數，若對任給的ε>0，存在正數M(≥a)，使得當x>M時有 |f (x) - A| < ε，則稱函數f當x趨於+∞時以A作爲極限，記作：

x趨於x0時函數的極限

|| 定義二：x趨於x0時函數極限的ε - ∂定義
設函數f在點x0的某個空心領域U⁰(x₀, ∂)內有定義，A爲定數，若對任給的的ε>0, 都存在正數∂，得當0<|x - x0 |<∂時有 |f(x) - A| < ε，則稱函數f當x趨於x0時以A爲極限，記作：

|| 定義三：x趨於x0時函數單側極限：
設函數在x0的某個空心鄰域U⁰_-(x₀, ∂)內有定義，A爲定數，若對任給的ε>0, 都存在正數∂，使得x0-∂ < x < x0時有 |f（x）- A| < ε，則稱數A爲函數f當x趨於x0^-時的左極限，記作：

|| 定理1：函數趨於x0的極限爲A的充要條件爲函數趨於x0的左右極限都爲A

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函數極限的性質

注意：我們使用函數趨於點x0的極限來研究函數任何類型極限的性質

定理2：唯一性
若函數極限lim_x->x0f(x)存在，那麼此極限是唯一的

定理3：局部有界性
若函數極限lim_x->x0f(x)存在，則f在x0的某空心鄰域中有界

定理4：局部保號性
若函數極限lim_x->x0f(x) = A>0，則對任何正數r<A，存在U⁰(x0)，使得對一切x∈U⁰(x0)有f（x）>r>0

定理5：保不等式性
若lim_x->x0f(x)與lim_x->x0g(x)都存在，且在某鄰域U⁰(x0; ∂)，內有f(x) ≤ g(x)，則lim_x->x0f(x) ≤ lim_x->x0g(x)

定理6：迫斂性
設lim_x->x0f(x) = lim_x->x0g(x) = A，且在某鄰域U⁰(x0; ∂)內有f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)，則lim_x->x0h(x) = A

定理7：四則運算法則：
若極限lim_x->x0f(x)與lim_x->x0g(x)都存在，則函數f ± g，f * g當x–>x0時極限也存在，且有

若lim_x->x0g(x) != 0，則f/g當x–>x0時極限也存在，且有

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函數極限存在的條件

同數列極限存在性的研究一樣，我們將利用函數的本身特徵（函數值的變化趨勢）來判斷函數極限的存在性

|| 定理8：海涅Heine定理（歸結原則）
設f在U⁰(x0; ∂)內有定義，lim_x->x0f(x)存在的充分必要條件是：
對於任何對任何內含於U⁰(x0; ∂)且以x0爲極限的數列{x_n}，極限lim_n->∞f(xn)都存在且相等
（通過數列達到x趨近於x0，且有多個該值的效果，再代入函數f判斷這些值有無相同的值，即極限）

|| 海涅定理的意義在於把函數極限歸結爲數列極限問題來證明

|| 定理9：對於單側極限的存在性的海涅定理
設函數f在點x0的某空心鄰域U⁰₊(x0; ∂)有定義，lim_x->x0⁺f(x) = A 的充要條件是：對任何以x0爲極限的且含於U⁰₊(x0; ∂)遞減數列{x_n}，有lim_n->∞f(xn) = A
(遞減數列保證了所有數列值都是大於x0的)

|| 定理10：
設f 爲定義在U⁰₊(x0; ∂)上的單調有界函數，則右極限lim_x->x0⁺f(x) 存在

|| 定理11：柯西準則
設函數f在U⁰(x0; ∂)內有定義，lim_x->x0f(x)存在的充分必要條件是：
任給的ε>0, 都存在正數∂，使得對任何x1，x2∈U⁰(x0; ∂)，有 | f（x1） - f（x2）| < ε .

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兩個重要的極限

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無窮小量和無窮大量

無窮小量

|| 定義四：無窮小量的定義（類似於無窮小數列）
某函數f在U⁰(x₀)內有定義，若lim_x–>x0f（x）= 0，則稱f爲當x–>x0時的無窮小量
若函數是有界函數時，則稱f爲當x–>x0的有界量
（注意： 無窮小量就是在x0以0爲極限的函數）

|| 推論：
lim_x–>x0f（x）= A 《==》 函數 f（x） - A 稱爲當x–>x0時的無窮小量

|| 無窮小量的階，與階的比較
雖然無窮小量都是以0爲極限的函數，但是它們趨近於0的速度是不一樣的

|| 定義五：高階無窮小量與低階無窮小量的定義
若f，g都是x–>x0的無窮小量，lim_x–>x0 [f（x）/ g（x）] = 0，則稱當x–>x0時，f爲g的高階無窮小量，g爲f的低階無窮小量，記作:
f( x ) = o( g（x) ) ( x–>x0 ) (等號" = "理解爲“屬於”， o( g（x) )是滿足以上條件的函數的集合)
（注意：即越高階的無窮小量處於0的速度越快）

|| 定義六：同階無窮小量的定義
f，g都是x–>x0的無窮小量，若存在整數K，L，使得在U⁰(x₀)上有：K ≤ | f（x）/ g（x） | ≤ L
(注意：當商的極限不爲0，且不爲1時，則稱f，g爲同階無窮小量)

|| 定義六的擴展：大O表示
只要滿足 | f（x）/ g（x） | ≤ L，就可記作: f(x) = O( g(x) ) ( x–>x0 ) (等號" = "理解爲“屬於”， o( g（x) )是滿足以上條件的函數的集合)

|| 定義七：等價無窮小量
f，g都是x–>x0的無窮小量，若lim_x–>x0 [f（x）/ g（x）] = 1，則稱當x–>x0時，f與g的是x–>x0時的等價無窮小量，記作: f( x ) ~ g ( x ) (x --> x0)

|| 注意事項：

• 無窮小量指的是函數，無窮小數列指的是數列，而無窮大量可以指數列也可以指函數
• 方便記憶：同階無窮小量是有倍數關係的等價無窮小量
• 並不是所有無窮小量都可以進行階的比較，需要滿足x–>x0時它們的比值極限是有界量的條件

定理12：等價無窮小量在求函數極限問題的應用
設函數f,g,h在U⁰(x0)上都有定義，且f(x) ~ g(x) (x --> x0)，則：

1. 若lim_x–>x0f(x) h(x) = A， 則lim_x–>x0g(x) h(x) = A
2. 若lim_x–>x0h(x) / f(x) = B，則lim_x–>x0h(x) / g(x) = B

無窮大量

|| 定義八：非正常極限∞的定義
設函數f 在U⁰(x0)上有定義， 若對於任給的G > 0，都存在有∂ > 0， 使得x∈U⁰(x0，∂)時，有| f(x) | > G ，稱啊哈納樹f當x–>x0時有非正常極限∞，記作： lim~x -->x0~f（x）= ∞。
若 f(x) > G 或 f（x）< -G 時，有 極限+∞ 或 極限-∞

|| 定義九： 無窮大量的極限
所有以∞，+∞，-∞爲非正常極限的函數（或者數列），都可以稱爲無窮大量。
（注意：無窮大量指的是有非正常極限的函數或者和數列，不是指很大的數）

|| 無窮大量中的高低階無窮大量，同階無窮大量，等價無窮大量的定義同無窮小量類似

|| 定理13：等價無窮大量在求函數極限問題時的運用
若函數f在U⁰(x0)上有定義且不爲0，那麼

1. 若f在x–>x0時爲無窮小量，則 1 / f 在x–>x0時爲無窮大量
2. 若f在x–>x0時爲無窮大量，則 1 / f 在x–>x0時爲無窮小量

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函數的漸近線

|| 定義九：函數的漸近線的定義
若函數曲線C上的動點P沿着曲線無限地遠離原點時，p點與直線L的距離無限接近於0，則稱直線L爲曲線的漸近線

|| 斜漸近線與垂直漸進線的求法