數學分析- 微分中值定理

微分中值定理（有關導數的定理）

簡介：
這一章將討論的時由導數 f ’ 的已知性質來推導函數 f 的性質
討論的工具是關於函數導數的微分中值定理（包括羅爾定理，拉格朗日定理，柯西定理，泰勒定理），名字中的中值指的是定義域中的值
羅爾定理，拉格朗日定理 ----> 函數單調性問題
柯西定理 ，(洛必達法則) ----> 函數不定式極限問題
泰勒定理 ----> 函數的近似(逼近)問題

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羅爾定理和拉格朗日定理 / 函數的單調性

|| 定理1：羅爾中值定理
若函數 f 滿足以下3個條件：

• f在閉區間 [ a, b ] 上連續
• f在開區間 ( a, b) 上可導
• f（a） = f（b）

則在(a, b)上至少存在一個數∮，使得f ‘（∮） = 0

（注意：如果要方便記憶條件的話：）

1. 區間[a, b]內認真考慮（[a, b]連續可導），區間之外忽略考慮（去掉點a，點b可導性）
2. f（a） = f（b）

|| 羅爾中值定理的幾何意義
在每一點都可導的一段連續曲線上，如果曲線的兩端高度相等，則至少存在一個點有水平切線(與x軸平行的切線)

|| 定理2：拉格朗日中值定理
若函數 f 滿足以下2個條件：

• f在閉區間 [ a, b ] 上連續
• f在開區間 ( a, b) 上可導
  則在(a, b)上至少存在一個數∮，使得f ‘（∮） = f(b) - f(a) / b - a （拉格朗日公式）

（注意：容易看到羅爾中值定理是拉格朗日中值定理當f(a) = f(b)的特殊形式）

|| 拉格朗日中值定理的幾何意義
在每一點都可導的一段連續曲線上，至少存在一個點的切線平行於端點AB的連線

|| 中值點∮的表示方法：
除了∮ ∈(a, b)，還可以表示成 ∮ = a + h(b - a) , h∈(0,1)
好處：使得a，b兩個數字不需要特定的大小關係。
在程序中使用這樣的表示 “ 值的範圍 ”的數學形式會更漂亮

|| 拉格朗日中值定理的推論：

1. 若函數f在區間 I 上可導，且所有f '(x) = 0，則f 是 I 上的一個常量函數
2. 若函數 f 和 g 均在區間 I 上可導，且所有f '(x) = g’（x），則 f(x) = g(x) + c(常數)
3. (導數極限定理）若函數f在U(x₀) 內連續，且在U⁰(x₀)內可導，且極限lim_x–>x0f‘(x)存在
   那麼f在x0上就是可導的，且f’（x0） = lim_x–>x0f‘(x)

（注意：推論三往往運用於求分段導數中的某點的導數。方便記憶：f 在U⁰(x₀)上可導，若在x₀上連續且存在導數極限lim_x–>x0f‘(x)，那麼f在x0上就是可導的，且f’(x0)就等於該導數極限）

|| 當在U小鄰域中使用拉格朗日中值定理時，可以獲得導數的表達式 :lim_x–>x0f(x) - f(x0) / x -x0 = lim_x–>x0f(∮)

單調函數

|| 定理3：單調性和導數的關係
設函數f（x）在區間 I 上遞增（減）的充要條件是：f’ (x) ≥ 0,x∈ I

|| 推論：嚴格單調性和導數的關係
若函數 f 在( a, b)內可導，設函數f（x）在區間 I 上遞增（減）的充要條件是：f’ (x) > 0,x∈ I

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柯西中值定理和不定式極限

簡介：柯西中值定理和以其爲依據的洛必達法則，解決有關不定式極限的問題

|| 定理4：柯西中值定理
若函數 f 和 g 滿足以下4個條件：

• 都在閉區間 [ a, b ] 上連續
• 都在開區間 ( a, b) 上可導
• f ’（x）和 g ’（x）不同時爲0 （即f 和 g 不同時達到極大值）
• g ( a ) != g ( b )

則在(a, b)上存在數∮，使得 f ’（∮）/ g ’（∮） = f(b) - f(a) / g(b) - g(a)

(注意：方便記憶，存在一個x使得 “兩個函數的導數比” 等於 “函數端點函數值（或端點連線斜率）之差的比 ”)
(注意：證明，要引入一個輔助函數F(x))

不定式極限

|| 什麼是不定式極限
求極限運算時若包含無窮大/小量，極限可能存在也可能不存在（0*∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰, ∞ - ∞）故稱爲不定式極限
兩個無窮小量之比和兩個無窮大量之比的極限，可以對應分爲 0/0和∞/ ∞兩種基本類型的不定式極限
（極限可以分爲兩種非不定式極限和不定式極限）

|| 洛必達法則的使用條件
比式是一個不定式，且滿足對應形式的洛必達的第二個鄰域可導性條件

|| 定理5：洛必達法則（0/0型）
若函數 f，g滿足以下2個條件：

• lim_x–>x0f(x) = lim_x–>x0g(x) = 0 （保證是0/0型不定式）
• 在點x0的空心鄰域U⁰(x₀)都可導，且g’（x）!= 0
  則lim_x–>x0f（x）/g（x），= lim_x–>x0f’（x）/g’（x）= A（可以是常數，也可以是∞）

|| 定理6：洛必達法則（∞/∞型）
若函數 f，g滿足以下3個條件：

• lim_x–>x0f(x) = lim_x–>x0g(x) = ∞
• 在點x0的右鄰域U⁰₊(x₀)都可導，且g’（x）!= 0

則lim_x–>x0f（x）/g（x），= lim_x–>x0f’（x）/g’（x）= A（可以是常數，也可以是∞）

|| 不定式極限的轉換
各種不定式極限的類型（0*∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰, ∞ - ∞），都能通過簡單的變換 ( 化爲自然對數e的指數形式，化作比值形式，通分等操作 )，化爲0/0，∞/∞兩種類型的不定式極限

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泰勒公式和函數的多項式逼近

簡介：下文的T_n(x)都代表函數 f 的泰勒多項式

|| 多項式逼近函數的思想
在前面研究導數和微分時，式子 f(x) = f(x₀) + f’(x₀)(x - x₀) + o(x - x₀)，就是使用一次多項式 f(x₀) + f’(x₀)(x - x₀)去逼近函數f（x），誤差爲x - x₀的高階無窮小量。
爲了更好地逼近函數，我們可以用二次甚至更高次的多項式去逼近，以產生更小的誤差（o(x-x₀)ⁿ）

帶有佩亞諾餘項的泰勒公式

書上解釋得很好，直接在這裏引用了。圖中的p_n(x)爲任一個n次多項式

總結一下：對任一個n次多項式逐項求導時，會發現多項式的每個項係數與在點x0上導數值有關。
通過在點x0上不同階的導數代表不同次的項，來組成n次多項式代表函數 f ，則
該多項式就稱爲f在點x0處的泰勒多項式，
泰勒多項式的各項係數（f^(k)(x₀) / k!, k = 1,2,…,n）就稱爲泰勒係數，
產生的誤差（例如：o(x - x₀)ⁿ），稱作泰勒公式的餘項R_n（x）。
泰勒公式： f （x）= T_n（x）+ R_n（x）

（注意1：帶有形如o(x - x₀)ⁿ餘項的泰勒公式稱爲 帶有佩亞諾餘項的泰勒公式）
（注意2：當 f（x）= p_n（x）+ R_n（x）時，p_n（x）爲 T_n（x）或者 0，但是若 f 滿足了定理7的條件，則p_n（x）必爲爲 T_n（x））

|| 定理7：泰勒多項式的逼近情況（n階定理）
若函數 f 在點x0存在直至n階的導數，則有f（x）= T_n（x） + o(x-x₀)ⁿ

|| 帶有佩亞諾餘項的泰勒公式的特殊形式（當x₀ = 0）：帶有佩亞諾餘項的麥克勞林公式

帶有拉格朗日餘項的泰勒公式

|| 拉格朗日餘項和佩亞諾餘項的區別：
佩亞諾餘項，定性地說明誤差是個高階無窮小量，拉格朗日餘項，可以定量地說明誤差

|| 定理8：泰勒定理（帶有拉格朗日餘項的泰勒公式定理）
若函數 f 在 [ a, b ] 存在直至n階的連續導數，在（a，b）內存在n+1階導函數，則對任給定的x,x₀∈[a , b]，至少存在一點∮∈ (a , b)，使得:

該式子即爲帶有拉格朗日餘項的泰勒公式
上式中的最後一項的即爲帶有拉格朗日餘項的泰勒公式的拉格朗日餘項

|| 帶有拉格朗日餘項的泰勒公式的特殊形式（當x₀ = 0）：帶有拉格朗日餘項的麥克勞林公式