數學分析 - 微分

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微分的概念（y的微增量）

|| 引入微分概念的的背景：
具體問題，當原長爲x0正方形邊長增加△x，則正方形的面積S(x) = x² 的增量爲：2△xx0 + （△x）²
又因爲第二部分的△x²是關於△x的高階無窮小量，因此正方形的面積增量可以近似爲第一部分2△xx0
，其產生的誤差就是一個關於2△x*x0的高階無窮小量（即邊長爲△x的小正方形面積）

|| 定義一：在一點上微分的定義
設函數y=f(x) 定義在x0的某鄰域U（x0），當給x一個增量△x（△x + x ∈U（x0)）時，相應的y的增量爲 △y =f(x0 + △x) - f(x0)。若存在常數使得△y = A△x + o(△x)，則稱函數在x0上可微，並稱第一項A△x爲 f 在點x0處的微分，記作：d（y）

（注意：微分就是當在△x–>0的情況下的△y的近似值dy。dx，dy可以理解爲x，y的微增量（微小的△x，△y）

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可微性和可導性的關係

|| 定理1：可微性和可導性的關係定理
函數f在x0上可微的充要條件是函數 f 在x0上可導

|| 注意一：常數A = f '(x0)
根據導數中的有限增量公式 △y = f '(x0) △x + o(△x), 比較△y = A△x + o(△x)，可以得到
dy = f '(x0) △x，即A就是 f 在x0上的導數

|| 注意二：函數在一點上的導數，就是在該點上y的微分和x的微分的比值，又稱微商【微商？doge】
若將自變量x的增量△x看成自變量的微分dx，那麼有dy = f '(x0) △x 可寫成 dy = f '(x0) dx，故有f '(x) = dy / dx = lim_△x–>0(△y/△x)。

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微分的運算

一階微分的運算法則（類比導數的運算法則）

|| 一階微分形式的不變性 — 針對複合函數的微分式
針對第4個法則，由於du = g ’ (x)dx，故也可以寫作dy = f‘（u）du；我們得出結論：dy = f’(x0)dx 不僅在x爲自變量時成立，當x爲可微函數時同樣也成立，這稱作一階微分形式的不變性

高階微分的運算法則

|| f 的二階微分公式： d²y = f⁽²⁾(x)dx²
（注意：d²x指的是x的二階微分，dx²指的是dx*dx，d（x²）指的是x²的一階微分）

|| f 的n階微分公式： dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ

|| 複合函數高階微分的運算
同一階微分運算法則，但是對於複合函數的高階微分將不再具有 “一階微分形式不變性”

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微分的一些應用

|| 相對誤差計算

|| 函數的近似運算