導數的概念
導數的定義
|| 引入導數概念的兩個問題：（兩個比值（y與x的比值）的差的極限）
- 瞬時速率：設一個物體作直線運動，運動規律爲s=s（t），t0是某一確定的時刻，t爲臨近t0的時刻，則v0 = [ s(t) - s(t0) ] / [ t - t0 ]爲平均速度，此時引入極限的概念，當t—>t0時，則limt–>t0v0 稱爲物體在t0時刻的瞬時速度
- 切線的斜率：斜率公式爲： f（x）-f（x0） / （x - x0）— 兩個比值的差的極限
形如以上兩種類型的極限叫做導數
|| 定義一：導數的定義
設函數y = f(x) ，在點x0的某領域內有定義，若極限 limx–>x0 [ ( f(x) - f(x0) / (x - x0) ] 存在，則稱函數f在x0處可導，並稱該極限爲函數f的在點x0上的導數，記作f '（x0）
|| 定義一的另一種形式：引入增量描述
令x = x0 + △x，則極限 limx–>x0 [ ( f(x) - f(x0) / (x - x0) ]，可以寫成 limx–>x0 [ ( f(x0 + △x) - f(x0) / (△x) ]，即 lim△x–>0 (△y / △x)
因此導數也就是增量比的極限，同上面總結出來的導數概念。
又因爲增量比即函數關於自變量的平均變化率，故我們稱f在x0上的導數爲f在點x0上的變化率。
|| 導數的幾何意義：
導數本身的幾何意義：某點上的導數其實就是這一點上的切線斜率
|| 可導性的定義：（幾何意義）
若極限 limx–>x0 [ ( f(x) - f(x0) / (x - x0) ] 存在，則稱其在x0上可導。
根據海涅準則，即兩個y/x極其相近，即兩個切線的斜率極其相近
|| 有限增量公式：
推導：因爲g = f’(x0) - △y/△x，是當△x–>0時的無窮小量，故有g△x = o(△x)，代入原式即得函數 f 在x0的有限增量公式
|| 定理1：可導性與連續性的關係（由有限增量公式推得）
若函數在x0上可導，那麼它在x0上連續
（注意：這是充分條件，只可以可導性推出連續性，連續性無法推出可導性）
|| 定理1的理解：
可導性中的△y/△x相關的極限若存在，那麼兩個y/x（即斜率）應該極其接近（海涅準則），x極其接近的情況下，則兩點位置（y）也應該極其接近，此時根據海涅準則就推出了連續性
但是連續性存在時，能說明兩點位置（y）應該極其接近，但是函數該點上的切線斜率不一定相近。
|| 定義二：單側導數的概念
設函數 f（x）在x0的某右鄰域（x0，x0+∂）內有定義，若右極限
存在則稱該函數右可導，，該極限值爲f在x0右放的右導數，記作 f’ +（x0）。
|| 定理2：左右導數與導數的關係
設函數y = f(x) ，在點x0的某領域內有定義，則f’(x0)存在的充要條件是，左右導數存在且相等
|| 可導函數的定義：
在函數的定義域內每一個點都可導，則改函數爲可導函數
|| 導函數的定義：
可導函數 f 上的每一個自變量，都對應着一個導數，這樣就定義了一個在定義域內的函數，稱其爲f在定義域上的導函數，有時也稱爲導數，記作f '，y ‘，dy / dx
（注意：導數有時指自增比的那個極限，有時指導函數）
|| 定義三：極值的定義
設函數 f（x）在x0的某鄰域U（x0）內有定義，對一切∈U（x0）有f（x0）≥ f（x），則稱 f 在x0處取得極大值f（x0），x0爲 f 的極大值點
|| 定理3：費馬定理（極值點的導數定理）
設函數 f（x）在x0的某鄰域U（x0）內有定義，且在x0處可導，，若該點爲f的極值點，則有：f ’ (x0) = 0；
|| 費馬定理的幾何意義：
若函數在極值點可導，那麼該點上的切線與x軸平行。
|| 定理4：達布定理（導函數的介質性定理）
若函數f 在[a, b]上可導，且f ’ (a) != f ’ (b)， k爲介於f ’ (a)和f ’ (b)之間的任一實數，則必能在[a，b]上找到一個數c，滿足f ’ © = k
求導法則
|| 導數的四則運算：
|| 反函數的導數
|| 複合函數的導數
|| 參變量函數的導數
|| 基本初等函數的導數總結：
高階導數
|| 加法式高階導數公式：
|| 乘法式高階導數公式：萊布尼茨公式（類似二項式展開）
