實數集完備性的基本定理
簡介：
實數集完備性的基本定理共有6個，前面提到過的有：實數集的確界原理，函數的單調有界定理和數列的柯西收斂定理，將要學習的有：區間套定理，聚點定理和有限覆蓋定理
它們都是等價的：由任何一個定理都可以推出其他5個定理
區間套和區間套定理
|| 定義一：區間套的定義
設閉區間列 { [an, bn] } ，具有如下性質：
- [an, bn] ⊃ [an+1, bn+1]，n=1，2，…
- limn–>∞（bn - an）= 0
則稱 { [an, bn] }這個閉區間列(類比一下數列)，爲閉區間套，簡稱區間套
（注意：區間套也就是前一個區間套後一個區間，端點需要滿足a1<a2…< an< bn< bn-1<…<b1 ）
|| 定理1：區間套定理
若閉區間列 { [an, bn] }是一個區間套，則在實數系中存在唯一的一點∮，使得∮∈ [an, bn], n=1,2,…，即 an < ∮ < bn,n=1,2,…
(注意：即在實數系存在唯一一個點，是區間套的每一個區間的元素，包括最小的區間)
|| 證明區間套定理中的唯一存在性時，我們往往使用這種方法，假設另外存在一點∮’，再證明∮ = ∮’（∮ -∮’=0）
|| 區間套定理的推論: 定點的鄰域與區間套的關係
若∮ ∈[an,bn]是區間套 { [an,bn] }所確定的點，則對任給的ε>0，存在N>0，使得當n>N時有：[an,bn] ⊂ U（∮，ε）
|| 數列的柯西收斂準則的重新證明（使用區間套定理）
首先由區間套定理找出∮和其對應的閉區間[an, bn]，已知[an, bn]包含除有限項外所有項，又根據推論[an, bn] ⊂ U（∮，ε）根據數列收斂的鄰域定義，找出來的∮就是數列的極限
聚點和聚點定理
|| 定義二：點集中的聚點的定義
設S爲數軸上的點集，∮是一個定點（可以屬於S，也可以不屬於S）。若∮的任何鄰域內都包含有S中 的無數多個點，則稱∮是點集S的一個聚點
|| 定義二的等價定義：
對於點集S，若點∮的任何鄰域上都含有S中異於∮的點，即U0（∮，ε）∩ S != 空集，則稱∮爲S的一個聚點
|| 定義二的等價定義：
若存在各項互異的收斂數列{xn}⊂S，則數列的極限limn–>∞xn= ∮稱爲S的一個聚點
|| 定理2：點集中的聚點定理
實軸上任一有界無限的的點集S，至少有一個聚點
（注意：證明時使用上文的區間套定理）
|| 聚點定理的推論：緻密性推論
有界數列必含有收斂子列（聚點等價定義二顯而易見可證）
|| 數列的柯西收斂準則的重新證明（使用緻密性推論）
開覆蓋和有限開覆蓋定理
|| 定義三：開覆蓋的定義
設S爲數軸上的點集，H爲開區間的集合（即H的每一個元素都是一個開區間）。若S中所有點都被包含在H中的至少一個開區間上，則稱開區間集合H爲點集S的一個開覆蓋（H覆蓋S）。根據H中元素的個數（有限/無限），稱H爲S的一個有限開覆蓋/無限開覆蓋
(注意：開覆蓋就是能覆蓋一個點集的開區間集合）
|| 定理3：有限覆蓋定理
設H爲閉區間[a, b]的一個開覆蓋，則從H中可以選出有限個開區間來覆蓋[a, b]
閉區間上連續函數性質的證明
簡介：使用上文的實數完備性定理，證明閉區間上連續函數的基本性質
閉區間上連續函數的基本性質的描述：https://blog.csdn.net/a13352912632/article/details/105640073
|| 有界性定理的證明
應用有限覆蓋定理或緻密性推論可證
|| 最大最小值定理的證明
應用確界原理可證
|| 介值性定理的證明
應用確界定理或者區間套定理可證
|| 一致連續性定理的證明
應用有限覆蓋定理或緻密性推論可證
上極限和下極限
簡介：函數有左右極限，對應數列有上下極限
由於n爲自然數集，數列的項在n—>∞時會有多種情況，產生多個極限
|| 定義四：點列中的聚點的定義
若在數a的任一鄰域內含有數列{xn}的無限多個項，則稱a爲數列中的一個聚點
(注意：點集和點列時有區別的，點列是一個個n=1,2,3,4…時特定的點，有無數多個項，而點集有無數多個點)
|| 定理4：點列中的聚點定理
有界數列(點列){xn}至少存在一個聚點，且存在最大聚點和最小聚點
|| 定義五：數列上極限和下極限的定義
有界數列{xn}最大聚點和最小聚點分別稱爲{xn}的上極限和下極限，記作：
|| 定理5：上下極限的大小關係
有界數列的上下極限滿足大小關係
（二者可能相等)
|| 定理6：上下極限與極限
limn–>∞xn = A 的充要條件是
|| 定理7：上下極限的判定定理
A—是有界數列{xn}的上極限的充要條件是：任給ε>0
- 存在N>0，使得當n>時有xn<A—+ ε
- 存在子列{xnk}，xnk > A—- ε, k=1,2,…
A—是有界數列{xn}的下極限的充要條件是：任給ε>0
- 存在N>0，使得當n>時有xn > A— - ε
- 存在子列{xnk}，xnk < A—+ ε, k=1,2,…
|| 定理7的另一種表達：
|| 定理8：上下極限的判定定理
|| 上下極限的保不等式性
設有界數列{an}，{bn}滿足：存在N0>0，當n > N0時有 an < bn，則：
特殊情況：當a，b是兩個常數，存在N0>0，當n > N0時有 a < an < b，則：
