CodeForces - 1341F Nastya and Time Machine(dfs+構造)

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題目大意：給出一棵樹，現在要求從點1出發遍歷所有的結點一遍後再回到點1，額外給出一個時光機，可以到某個節點的任意時刻，需要滿足的條件如下：

1. 初始時在節點 1 ，時間爲 0 
2. 每次操作分爲下列兩種：
   1. ( v , t ) -> ( v , t_pre ) ，滿足 0 <= t_pre < t （利用時光機）
   2. ( v , t ) -> ( v_next , t + 1 ) ，滿足 v 和 v_next 之間存在一條連邊 （正常行走）
3. 所有的 ( v , t ) 必須各不相同
4. 所有的節點必須至少被遍歷一遍

在上述條件下，若要使得所有 t 中的最大值最小，輸出一種構造方案

題目分析：其實不難看出，最終所有 t 中的最大值，和每個點的度數有關係，所以我們可以求出這個最大值爲 mmax ，也就是最大的時間點，接下來需要想出一種構造方案，使得既能滿足利用時光機時不能衝突，也要滿足正常行走的條件，這裏直接給出構造方法吧

首先對於任意一個節點 u 來說，先求出他的所有子節點有多少個，記爲 son ，不難看出，節點 u 至少需要經過 son + 1 次才行，一次是從節點 u 的父節點下來，剩下 son 次是從子節點上來，同時可以知道， 0 <= son < mmax ，當節點爲葉子結點時，son 顯然爲 0 ，當節點爲度數最大的那個節點時，son = mmax - 1 （減去父節點）

到此爲止，我們先考慮滿足每個操作的第二種情況，也就是正常行走的情況，這種情況必須要求從節點 u 到達節點 v 時，時間之差必須爲一，如果我們先不考慮最大值 mmax 的限制的話，設從父節點到節點 u 的時間點爲 t 的話，我們可以讓節點 u 到子節點的時間分別爲 t + 1  , t + 2 , t + 3 .... 以此類推，如何保證呢？只需要根據相對關係實現下面兩點即可：（設 t_u 爲進入到節點 u 時的時間，t_v 爲進入到子節點 v 時的時間）

1. 從節點 u 進入到子節點時的時間爲 t_u + 1
2. 從子節點返回到到節點 u 時的時間爲 t_v - 1

仔細思考一下，會發現確實很巧妙

那麼剩下的就是解決有 mmax 限制的那個時光機的條件了，因爲每個節點的每個時間點至多隻能出現一次，而每個節點最多就會使用 son + 2 次時間點：

1. 一次是從父節點下來時的 t
2. son 次是從子節點上來時的 t + 1 , t + 2 ...等等
3. 一次是從最大值轉到最小值時使用的（多使用了一次時光機）

所以我們可以將每個結點使用的區間固定在 [ mmax - son - 1 , mmax ] 之間，換句話說，就是讓節點 u 到子節點的時間分別爲 t + 1 , t + 2 , t + 3 .... ( mmax - son - 1 ) +1 , ( mmax - son - 1 ) + 2 .... t - 1 ，也就是當 t 到達 mmax 時，讓其變爲最小值 mmax - son - 1 然後繼續加一就行了

注意特判一下節點 1

利用 dfs 實現起來非常簡單，終點是需要理解構造的巧妙

代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<unordered_map>
using namespace std;

typedef long long LL;

typedef unsigned long long ull;

const int inf=0x3f3f3f3f;

const int N=2e5+100;

vector<int>node[N];

vector<pair<int,int>>ans;

int mmax;

void dfs(int u,int fa,int t)//在區間 [ mmax - son - 1 , mmax ] 內賦值 
{
	int temp=t;
	ans.push_back(make_pair(u,t));
	int son=node[u].size()-(u!=1);//有多少個子節點 
	for(auto v:node[u])
	{
		if(v==fa)
			continue;
		if(t==mmax)//如果已經到最大值了，那麼切換成最小值 
		{
			t=mmax-son-1;
			ans.push_back(make_pair(u,t));
		}
		t++;
		dfs(v,u,t);
		ans.push_back(make_pair(u,t));
	}
	if(u!=1&&t!=temp-1)
		ans.push_back(make_pair(u,temp-1));
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("input.txt","r",stdin);
//	freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		node[u].push_back(v);
		node[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		mmax=max(mmax,(int)node[i].size());
	dfs(1,-1,0);
	printf("%d\n",ans.size());
	for(int i=0;i<ans.size();i++)
		printf("%d %d\n",ans[i].first,ans[i].second);









    return 0;
}