數學分析 - 不定積分

一元函數積分學：（一元函數的）不定積分+定積分+定積分的運用。將用三篇文章講完

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不定積分的概念

簡介：微分法的逆運算就是積分法，正如加法的逆運算是減法一樣

原函數和不定積分

|| 定義一：原函數的定義
設函數f和F在區間 I 上都有定義，若F’(x) = f（x），x∈ I，則稱F是f 在區間 I 上的原函數

|| 定理1：什麼樣的函數具有原函數
若函數 f 在區間 I 上 連續，則 f 在I 上有原函數F，即F’（x） = f（x）, x∈ I

|| 定理2：原函數的不確定
設F是f 在區間 I 上的原函數，那麼：F+c(常數) 也是f 在I上的原函數

|| 定義二：不定積分的定義
函數f在區間I 上的全體原函數稱爲f 在 I 上的不定積分，記作 ∫ f(x)dx。
其中的∫稱爲積分號，f(x)稱爲被積函數，f(x)dx稱爲被積表達式，x爲積分變量

|| 基本積分表：求解一個函數的不定積分往往需要按照微分法的已知結果去試探
以下是根據導數公式轉換成的積分表：

|| 定理3：不定積分中的線性運算
若函數 f 和 g 在區間I上都存在有原函數，k1，k2爲兩個常數，則k₁f+k₂g 在上同樣存在原函數，且

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複雜的積分法

由複合函數的求導法推出換元積分法

|| 定理4：換元積分法

|| 第一換元積分法：第一換元積分公式（正換元）
（是對複合函數的微分形式求不定積分，即得複合函數）

|| 第二換元積分法：第二換元積分公式（逆換元）

由乘法的求導法推出的分部積分法

|| 定理5：分部積分法
若u（x），v（x）可導，不定積分∫u’(x)v(x)dx存在，則∫u(x)v’(x)dx也存在，並有分部積分公式

其簡寫爲：

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特殊類型的不定積分

有理函數的不定積分是要進行部分因式分解
非有理函數的不定積分是通過換元轉換爲有理函數的形式再進行不定積分

有理函數的不定積分

|| 有理函數的定義：由兩個多項式函數的商所表示的函數，其一般形式爲：

係數a，β都爲常數，且a₀，β₀都不爲0，m，n爲非負整數
當m>n時該函數稱爲真分式，當m<n時該函數稱爲假分式，而假分式可以化爲一個多項式和一個真分式之和 （我們只需研究真分式的不定積分就好了）

|| 真分式的不定積分求法：主要思想是將真分式劃分成多個部分分式之和(部分因式分解)，再求解各個分式的不定積分

三角函數有理式的不定積分：求其不定積分的核心是通過換元化爲有理函數形式

|| 有理式的定義：
由u（x），v（x）及常數經過有限次四則運算所得到的函數稱爲u（x），v（x）的有理式，並用R( u（x)，v（x）)表示。
而三角函數有理式即爲R(sin（x），cos（x）)

|| 求三角函數有理式的不定積分：我們通常使用變換t = tan(x/2)，可把它化爲有理函數的不定積分

無理根式的不定積分：求其不定積分的核心是通過換元化爲有理函數形式

|| 無理根式的定義： R(x， [(ax+b)/(cx+d)]^1/n ) 或 R(x，(ax²+bx+c)^1/2 )

||求第一種無理根式的不定積分：我們通常使用變換t = [(ax+b)/(cx+d)]^1/n，可把它化爲有理函數的不定積分

|| 求第二種無理根式的不定積分：由分爲三種情況

|| 歐拉變換：換元時產生的變化若能直接將無理式化爲有理形式，這類變換稱爲歐拉變換