皮爾森相關係數，又稱積差相關係數、積矩相關係數，可以看做將兩組數據首先做Z分數處理之後, 然後兩組數據的乘積和除以樣本數Z分數一般代表正態分佈中, 數據偏離中心點的距離.等於變量減掉平均數再除以標準差。按照大學的線性數學水平來理解, 它比較複雜一點,可以看做是兩組數據的向量夾角的餘弦。
從以上解釋，也可以理解皮爾遜相關的約束條件:
1、兩個變量間有線性關係
2、變量是連續變量
3、兩個變量的總體均符合正態分佈：取大樣本進行正態分佈非參數檢驗
4、兩變量獨立
在實踐統計中，一般只輸出兩個係數，一個是相關係數，也就是計算出來的相關係數大小，在-1到1之間；另一個是獨立樣本檢驗係數，用來檢驗樣本一致性。
現舉例說明計算相關係數的一般步驟：
例9.1 測定15名健康成人血液的一般凝血酶濃度（單位/毫升）及血液的凝固時間（秒），測定結果記錄於表9.1第（2）、（3）欄，問血凝時間與凝血酶濃度間有無相關？
1．繪圖，將表9.1第（2）、（3）欄各對數據繪成散點圖。
2．求出∑X、∑Y、∑X2、∑Y2、∑XY，見表9.1下方。
3，代入公式，求出r值。
表9.1 相關係數計算表
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受試者號 |
凝血酶濃度(單位/毫升)X |
凝血時間(秒)Y |
|
1 |
1.1 |
14 |
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2 |
1.2 |
13 |
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3 |
1.0 |
15 |
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4 |
0.9 |
15 |
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5 |
1.2 |
13 |
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6 |
1.1 |
14 |
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7 |
0.9 |
16 |
|
8 |
0.9 |
15 |
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9 |
1.0 |
14 |
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10 |
0.9 |
16 |
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11 |
1.1 |
15 |
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12 |
0.9 |
16 |
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13 |
1.1 |
14 |
|
14 |
1.0 |
15 |
|
15 |
0.8 |
17 |
|
合計 |
15.1 |
222 |
∑X=15.1 ∑Y=222
∑XY=221.7
∑X2=15.41∑Y2=3304
本例的相關係數r=-0.9070，負值表示血凝時間隨凝血酶濃度的增高而縮短；絕對值∣-0.9070∣表示這一關係的密切程度。至於此相關係數是否顯著，則要經過下面的分析。
（二）相關係數的假設檢驗
雖然樣本相關係數r可作爲總體相關係數ρ的估計值，但從相關係數ρ=0的總體中抽出的樣本，計算其相關係數r，因爲有抽樣誤差，故不一定是0，要判斷不等於0的r值是來自ρ=0的總體還是來自ρ≠0的總體，必須進行顯著性檢驗。檢驗假設是ρ=0，r與0的差別是否顯著要按該樣本來自ρ=0的總體概率而定。如果從相關係數ρ=0的總體中取得某r值的概率P>0.05，我們就接受假設，認爲此r值的很可能是從此總體中取得的。因此判斷兩變量間無顯著關係；如果取得r值的概率P≤0.05或P≤0.01，我們就在α=0.05或α=0.01水準上拒絕檢驗假設，認爲該r值不是來自ρ=0的總體，而是來自ρ≠0的另一個總體，因此就判斷兩變量間有顯著關係。
由於來自ρ-0的總體的所有樣本相關係數呈對稱分佈，故r的顯著性可用t檢驗來進行。本例r=-0.9070，進行t檢驗的步驟爲：
1．建立檢驗假設，H0：ρ=0，H1：ρ≠0，α=0.01
2．計算相關係數的r的t值：
3．查t值表作結論
ν=n-2=15-2=13
根據專業知識知道凝血酶濃度與凝血時間之間不會呈正相關，故宜用單側界限，查t值表得
t0.01,13=2.650
今∣tr∣>t0.01,13，P<0.01，在α=0.01水準上拒絕H0，接受H1，故可認爲凝血時間的長短與血液中酶濃度有負相關。
爲簡化tr檢驗的計算過程，數理統計工作者根據t分配表，已把不同自由度時r的臨界值求出，並列成相關係數界值表（見附表11）。故求相關係數後，只需查表就可知道該r值是否顯著，而不必再計算tr值。
r的顯著性界限爲
|r|<r0.05, P>0.05 相關不顯著
r0.05≤|r|<r0.01,0.05≥P>0.01 在α=0.05水準上相關顯著
|r|≥r0.01,P≤0.01 在α=0.01水準上相關顯著
例9.1的ν =15-2=13，查附表11中P（1）的界值，得：
r0.05,13=0.441 r0.01,13=0.592
現r=-0.9070,∣r∣>r0.01,13,P<0.01,按α=0.01水準，拒絕HO,接受H1。認爲ρ≠0，說明凝血時間的長短與血液中凝血酶濃度有負相關。結論與計算所得一致。
相關係數的顯著性與自由度的大小有關，如n=3,ν=1時，雖r=-0.9070，卻爲不顯著；若ν=400時，即使r=0.1000，亦爲顯著。因此不能只看r的值，不考慮ν就下結論。