【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第九課 向量與矩陣的橋樑

本系列筆記爲方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~

線性無關(independence)

對於一堆向量（向量組）v1,v2,v3...vn ，若他們的線性組合(linear combination)不爲零向量，則稱他們線性無關

注意，線性組合時不能讓 所有的 係數（scalar）取零，換個角度理解就是任取其中一個向量，該向量無法由其他向量線性組合得到。話已至此，向量組的線性無關就與之前我們學習的矩陣有了聯繫。

基(basics)

基，basics，強調英文的原因在於複數形式代表基是 一組 向量，其有兩個性質：
1. 線性無關(independence)
2. 他們所有的線性組合構成一個space(像之前介紹的column space)
我們最熟悉的基：xyz，基的數量就是其組成space的維數dimension
(R3 的基basics並非只有xyz，你可以很容易找到其他的一組基，實際上這樣的基有無數組，如[1,2,3],[3,4,5],[5,6,9] ,另外[1,2,3],[2,5,6] 也是一組基，不過它們是其組成的平面的基，維數爲2)

從向量組到矩陣

我們把向量組中的向量當做矩陣的column vector寫成一個矩陣的形式，觀察我們的column space，利用上一節課的內容我們可以找到pivot column，而free column可以由pivot column線性組合得到，有沒有很眼熟？

pivot column原始的vector 就是組成的column space的basics，在矩陣中我們把pivot column的數目叫做rank(秩)，在向量中我們叫basics中vector的數量dimension 維度，即
dim(C(A))=rank(A)
(A 爲矩陣，C(A) 爲其column space)

目前所學還差一個space沒有和向量掛上鉤，null space，Ax=0 的解所在的space，null space就是各取一列free column，用pivot的線性組合可以得到free column，其係數scalar就是一組解x ,，乘以任意常數得到cx 都是解，cx 就是一個vector，這裏老師直接丟了結論：

組成null space的這些vector就是null space的basics

也寫一個關於null space的結論：
dim(null(A))=N−rank(A)
(A 爲矩陣，null(A) 爲其null space, N爲矩陣的列數)

PS：更詳細的課堂筆記見另一位仁兄的筆記
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/12584479
PS2：文中各種英文的原因在於我急於熟悉這些概念的英文名稱，而一直重複記錄和理解是我目前能想到的一個笨辦法