【線性代數公開課MIT Linear Algebra】 第六課 AX=b與列空間、零空間

本系列筆記爲方便日後自己查閱而寫，更多的是個人見解，也算一種學習的複習與總結，望善始善終吧~

列空間

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給定矩陣A ，對於Ax=b ，當b 滿足什麼條件時有解？

回憶第二課關於矩陣乘法的內容,Ax 相乘，A 爲矩陣，x 爲向量，二者相乘的結果可以看做是A 中col vector的線性組合（linear combination）
第二課鏈接：http://blog.csdn.net/a352611/article/details/48603941
顯然Ax 組成了一個空間，我們稱之爲列空間（column space），當b 在該空間中時，有解。

零空間

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給定矩陣A ，對於Ax=b ，當b 爲零向量(zero vector)時，x 有什麼特點？

很明顯，x 肯定包含零點，那麼是否包含其他解？換個角度想：A 的col vector存在某一個線性組合可以得到零向量的條件是什麼？

A 中某個col vector 可以由其他的col vector線性組合得到，即A 中的列向量存在線性關係

現在思考另外一個問題x 會不會也是一個空間？假設x 是一個空間，取其中二個向量x1 和x2 ，考察加法和乘法：
1.A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0 ，滿足
2.A(kx1)=kAx1=0 ，對x2 同理，滿足
所以可以知道x 必定是一個空間，我們稱之爲零空間。

我們如何區分一個系統是線性或非線性？實際上和空間一樣，對於系統A ，輸入x1 、x2 、x1+x2 、kx1 得到輸出y1 、y2 、y3 、y4 ，如果y1+y2=y3 且y4=ky1 則稱系統A 爲線性系統

和空間一樣滿足加法和乘法，這就是線性，所以線性系統A 可以用矩陣表示，輸入與輸出關係等同於Ax=y

PS：更詳細的課堂筆記見另一位仁兄的筆記
http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/10287761