DP - 狀壓DP - 今日頭條2019筆試 - 畢業旅行問題

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小明目前在做一份畢業旅行的規劃。

打算從北京出發，分別去若干個城市，然後再回到北京，每個城市之間均乘坐高鐵，且每個城市只去一次。

由於經費有限，希望能夠通過合理的路線安排儘可能的省些路上的花銷。

給定一組城市和每對城市之間的火車票的價錢，找到每個城市只訪問一次並返回起點的最小車費花銷。

注意：北京爲1號城市。

輸入格式
城市個數n。

城市間的車票價錢n行n列的矩陣 m[n][n]

輸出格式
輸出一個整數，表示最小車費花銷。

數據範圍
1<n≤20,包括北京
車票價格均不超過1000元。

輸入樣例：
4
0 2 6 5
2 0 4 4
6 4 0 2
5 4 2 0
輸出樣例：
13
說明
共4個城市，城市1和城市1的車費爲0，城市1和城市2之間的車費爲2，城市1和城市3之間的車費爲6，城市1和城市4之間的車費爲5，以此類推。

假設任意兩個城市之間均有單程票可買，且價格均在1000元以內，無需考慮極端情況。

---

分析：

$本題是一道明顯的$《最短Hamilton路徑》$問題。$

$僅僅最後需要重新回到起點，做一遍Hamilton迴路，最後再從回到起點的路徑中選擇一條最短的即可。$

$狀態表示，f[i][j]：當前走到第j個點，且狀態是i的最少花費。\\其中i是一個n位二進制數，若第k位是1，表示已經經過了點k，若是0，表示還未經過點k。$

$注意：$
$本題只要求經過所有點，而不要求經過的順序，因此不好考慮前j個點的狀態。\\比較好的考慮方式是已經經過了哪些點。$
$另外，由於要進行移位運算，狀態的位數是從[0,n-1]的，因此給點標號爲[0,n-1]。$
$初始化f[1][0]=0，表示狀態的第0位是1，且當前處在0號點的花費是0。$

$狀態計算：\\考慮第j個點是從哪個點走過來的。$

$若滿足狀態i的第j位爲1，且狀態i-(1<<j)的第k位爲1，表示當前狀態處在的j點是從k點走過來的，\\則說明狀態能夠發生轉移，f[i][j]=min(f[i-(1<<j)][k]+w[k][j])，j,k∈[0,n-1]。$

$最終將所有點都經過一次的最小花費就是min(f[(1<<n)-1][i])，i∈[0,n-1]。$
$再回到起點0的最小花費就說min(f[(1<<n)-1][i]+w[i][0])，i∈[1,n-1]。$

代碼：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N=20,M=1<<N;

int n,f[M][N],w[N][N];

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            cin>>w[i][j];
            
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[1][0]=0;
    
    for(int i=0;i<1<<n;i++)
    for(int j=0;j<n;j++)
        if((i>>j)&1)
        for(int k=0;k<n;k++)
            if((i-(1<<j))>>k&1)
                f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+w[k][j]);
                
    int res=1e9;
    for(int i=1;i<n;i++) res=min(f[(1<<n)-1][i]+w[i][0],res);
    
    cout<<res<<endl;
    
    return 0;
    
}