數學分析 - 定積分（待修改）

簡介：不定積分是求導的逆運算，定積分是某種特殊和式的極限

定積分的概念

|| 由例子引出定積分：曲邊梯形的面積
在區間[a, b]中，取n-1個分點將區間分爲n個小區間[x_i, x_i+1], i=1,2,…n，在每個小區間內都任取一點ξ_i 。將整個大麴邊梯形劃分爲多個以f（ξ）爲高，[x_i, x_i+1]爲底的小矩形，用這些小矩形的面積之和將與某一常數無限接近，近似代替大麴邊梯形的面積，即：

|| 以上的問題歸結的思想方法總結爲：“分割”，“近似求和”，”取極限“ ------最終歸結爲以一個特殊和式的逼近目標

|| 定義一：分割與模的定義
設閉區間[a, b]內有n-1個點（a=x₀<x₁<x₂<…< x_n-1<x_n=b）,它們將[a, b]分爲n個小區間Δ_i = [x_i，x_i+1]，這些分點或閉子區間都對原區間構成了分割，記爲： T={x₀,x₁,…,x_n}或{Δ₁,Δ₂,…,Δ_n}。小區間Δ_i的長度爲Δx_i = x_i+1 - x_i，稱作分割的模，記爲： ||T||=max{Δx_i}
(分割的模即描述了分割的細密程度)

|| 定義二：積分和(黎曼和)的定義
設f是定義在[a, b]上的一個函數，對於區間[a, b]的一個分割T = {Δ₁,Δ₂,…,Δ_n},任取點ξ_i∈Δ_i ,i = 1,2,…n，並作和式：（下圖），此和式爲爲函數f在[a, b]上的一個積分和，也稱黎曼和

|| 定義三：定積分的定義
設函數f是定義在[a, b]上的一個函數，j是一個實數。若對於任給的正數ε，總存在某一個正數δ，使得對[a, b]的任意分割T，以及其上任意選取的的點集{ξ_i}，只要有|| T || < δ，就有：（下圖），則稱函數f在[a, b]上可積或黎曼可積，數 j記爲 f 在[a, b]上的定積分或黎曼積分，記作：j=∫^b_a f(x)dx

|| 有關定積分概念的補充敘述
註釋1：從定義看,定積分其實就是一個特殊和式（積分和）的極限，因此可以寫成這種形式:( 下圖）

註釋2：定積分的幾何意義，可以看作正面積(y軸以上)和負面積(y軸以下)之和

註釋3：一般來說b>a,當b=a時，定積分爲0，當b<a時，則 ∫^b_af(x)dx = -∫^a_bf(x)dx

牛頓—萊布尼茨公式

簡介：牛頓—萊布尼茨公式不僅提供了定積分計算的有效方法，並且在理論上把定積分和不定積分練習了起來。

|| 定理1：牛頓—萊布尼茨公式
若函數 f在區間[a, b]上連續, 則 f在[a, b]上可積，且定積分滿足牛頓—萊布尼茨公式：

可積條件

由於直接通過定義來判斷可積性十分困難，我們研究其他的判斷可積性的條件，來證明除更多的定理和性質

|| 定理2：可積的必要條件
若函數 f 在[a, b]上可積，則f在[a, b ]上必定有界

|| 達布和的定義：
設 T 爲 f 對於[a, b]的任一分割，其每個△_i存在上確界M和下確界m，則所有區間上確界和下確界的和稱爲f 關於 T的達布上和S（T）與達佈下和：s（T）

|| 定理3：可積的充要條件（可積準則）
任給正數ε，總存在一個分割T，使得達布上和與達佈下和的差小於ε（S(T) - s(T) < ε）

|| 定理3的另一種形式：設每一個△_i的上確界M和下確界m之差爲ω（振幅），若每個子區間的中的振幅之和小於ε

|| 可積準則的幾何意義：圖中包圍曲線的小正方形面積之和可以達到任意小

|| 定理4：若 f爲[a, b]上的連續函數，則 f 在[a, b]上可積

|| 定理5：若 f是[a, b]上只有有限個間斷點的有界函數，則 f在[a, b]上可積

|| 定理6：若 f是[a, b]上的單調函數，則 f在[a， b]上可積

定積分的性質

|| 性質1：倍乘運算
若 f在[a, b]上可積，k爲常數，則kf在[a, b]上也可積，且 ∫^b_a f(x)dx = k ∫^b_a f(x)dx

|| 性質2：加減運算
若 f，g在[a, b]上可積，則 f ± g 在[a, b]上也可積，且 ∫^b_a [f(x) ± g(x)]dx = ∫^b_a f(x)dx ± ∫^b_ag(x)dx

|| 性質3：乘法運算
若 f，g在[a, b]上可積，則 f * g 在[a, b]上也可積，但是注意一般來說 ∫^b_a [f(x)* g(x)]dx !=∫^b_a f(x)dx * ∫^b_ag(x)dx （結果由推廣的積分第一中值定理決定）

|| 性質4：可積的充要條件 (又稱爲積分區間的可加性)
f 在[a, b]可積的充要條件：任給c∈（a，b），f在[a, c]於[c, a]上都可積，且 ∫^b_a [f(x)]dx = ∫^c_a f(x)dx + ∫^b_c f(x)dx
（注意：針對分段函數的定積分求解）

|| 性質5：
若f 在[a, b]上可積，f（x）≥ 0，x∈[a, b]，則∫^b_a ≥ 0

|| 性質5的推論：積分不等式性
若 f，g在[a, b]上可積，且f（x）≥g（x），則 ∫^b_a f(x)dx ≥ ∫^b_a g(x)dx

|| 性質6：絕對值函數的可積性
若f 在[a, b]上可積，則 | f | 在[a, b]也可積，且 ∫^b_a | f(x) | dx= | ∫^b_a f(x)dx |
（注意：不可以反過來）

積分中值定理

|| 定理7：積分第一中值定理
若 f在[a, b]上連續，則至少存在一點ξ∈[a, b]，使得 ∫^b_a f(x)dx = f（ξ）(b - a)

|| 積分第一中值定理的幾何意義
區間的長度 × 區間內某一函數值
（注意： f（ξ）= 1/(b-a) ∫^b_a f(x)dx 可以理解爲區間所有函數值的平均值）

|| 定理8：推廣的積分第一中值定理
若 f，g 在[a, b]上連續，且g（x）在[a, b]上不變號，則至少存在一點ξ∈[a, b]，使得 ∫^b_a [f(x)* g(x)]dx =f(ξ) * ∫^b_ag(x)dx

微積分學的基本定理

原函數存在定理（定理10）：在定積分形式下證明連續函數必定存在原函數
因爲它溝通了導數與和定積分這兩個表面上不相干的概念的內在聯繫，故被譽爲微積分學的基本定理

|| 變限積分的的定義：（是一個函數）
以積分上限爲自變量的函數稱爲變上限的定積分：Φ（x） = ∫^x_a f(t)dt ，x∈[a, b]
以積分下限爲自變量的函數稱爲變下限的定積分：Ψ（x） = ∫^b_x f(t)dt ，x∈[a, b]
（注意：由於 ∫^b_x = - ∫^x_b，以下只討論變上限積分）

|| 定理9：
若 f在[a, b]上可積，則函數 Φ在[a, b]上連續

|| 定理10：原函數存在定理
若 f在[a, b]上連續，則函數 Φ在[a, b]上可導，且：

（注意：即連續函數必有原函數—變限積分）