快速入門之——乘法逆元求組合數

逆元+快速冪+階乘求組合數（快速入門）

前言：

大家基本上應該都知道用楊輝三角法求組合數C(n,m)（n爲下標）
也就是直接暴力打表求法O(n*m)：

for(int i=0;i<=n;i++){
	c[i][0]=c[i][i]=1;
	for(int j=1;j<i;j++)
		c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}

但是很明顯不好，然後就想到了這個公式：

內心獨白：對啊，直接用這個公式不就完事了嗎，但是要知道，除法是不能求餘的，而一般情況下，我們都需要進行求餘操作，即：
(a÷b)%c=(a%c÷b%c)%c
上面這種運算是錯誤的！

這就出現了今天的老大哥：逆元+快速冪+階乘求組合數

何爲逆元？

逆元就是通常所說的：倒數（這就秒懂了吧）

怎麼求逆元？

這裏得提到費馬小定理：

也就是說：a的逆元爲a^(p-2)

對於這種冪的運算，就得用到快速冪了
（關於快速冪這裏不介紹）

回到主題：

這個公式目前我們就可以轉換爲：
C(n,m)=n!*inv[m!]*inv[(n-m)!]
（其中：inv表示逆元）

最後發現，階乘逆元不知道怎麼算？

怎麼求階乘逆元？

所以就有：
inv[(n-1)!]=inv[n] * n

直接利用遞推即可。

最後關於C(n,m)的求法就大功告成了
C(n,m)=n!*inv[m!]*inv[(n-m)!]

相關代碼實現：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const ll mod=998244353;
ll inv[maxn], fac[maxn];  //分別表示逆元和階乘
//快速冪
ll quickPow(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}

void init(){
    //求階乘
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    //求逆元
    inv[maxn-1]=quickPow(fac[maxn-1],mod-2);
    for(int i=maxn-2;i>=0;i--){
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
}
ll C(int n,int m){
    if(m>n){
        return 0;
    }
    if(m==0)
        return 1;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main(){
    init();
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    printf("%lld\n",C(n,m));
}

參考文章：
https://www.cnblogs.com/kongbursi-2292702937/p/10582258.html
https://blog.csdn.net/qq_40861916/article/details/82928080