Smith圓圖的發展
史密斯圓圖簡介
史密斯圓圖(Smith chart）是一款用於電機與電子工程學的圓圖，主要用於傳輸線的阻抗匹配上。一條傳輸線(transmission line)的電阻抗力(impedance)會隨其長度而改變，要設計一套匹配(matching)的線路，需要通過不少繁複的計算程序，史密斯圓圖的特點便是省卻一些計算程序。
起源背景：
由菲利普·史密斯(Phillip Smith)於1939年發明，當時他在美國的RCA公司工作。史密斯曾說過，“在我能夠使用計算尺的時候，我對以圖表方式來表達數學上的關聯很有興趣”。簡單的說：就是類似於數學用表一樣，通過查找，知道反射係數的數值。
對史密斯圓圖的理解
傳輸線的阻抗由於電容電感等的影響，是一個復阻抗，所以我們將其放在這個複數座標系中，就是下圖：
比如，此時傳輸線阻抗爲兩條紅曲線的交點，那麼變換到天才的史密斯圓圖上就是下圖這裏：
值得說明的是，下圖中的X、Y軸不再直接代表着阻抗了。
此時大家一定很好奇，怎麼從複數座標系變換到史密斯圓圖的。且看下面的過程：
最新發展情況：三維球體史密斯圓圖
1.拓展原因
上圖是史密斯圓圖在座標系中位置，我們可以看到它只能表示正阻抗的情況。
在涉及到負電阻時，用一個三維球面而不是二維圓周的方式來表示史密斯圓圖時，可以更好地洞察匹配問題的實質。將要討論一種把阻抗域的負實數部半邊結合進入擴展的史密斯圓圖的有效方法。
2.拓展方法
要考慮到負阻抗的情況，我們就需要再引入一個背對背的圓圖。但這樣兩個圓圖不方便工程中的應用，而且容易混淆，所以我們就可以將這兩個二維的圓圖，翻轉拼接成爲一個三維球體圓圖，如下圖：
3.拓展形式
在這個新形式的史密斯圓圖中，阻抗爲0 和無窮時的點在x 軸上。從Z 軸的正方向去看球體，可以看到一個類似於傳統的史密斯圓圖。當然，由於球面的曲線特性，這個圓周的形狀似乎有些變形。當把阻抗平面映射到球面上時，整個平面都在一個易於處理的區域內，而且正電阻到負電阻的過渡可以平滑連續地進行。
Z>0 的半球表面含有所有具有正電阻的阻抗，Z<0含有所有具有負電阻的阻抗。類似地，y>0 的半球含有感抗阻抗，y<0 的半球含有容抗阻抗。只有在球面上的點纔有意義；在球體內的點則無關緊要。
現在球形的史密斯圓圖已經建成了，正如2-D 史密斯圓圖一樣，我們可以考慮不同阻抗的表示方式。
首先，電阻爲常數和感抗爲常數的線可以先畫出來。這些線形成了一系列封閉的圓周，起始和中止於點（1，0，0）。例如，+50，+50j，-50，-50j 這些常數電阻和感抗線都從點AEFJ（北極）開始，再回到起點前，跨經點D，H，B 和G（在赤道上）。畫出其它值的電阻和電抗線使其類似於2-D 史密斯圓圖。
不僅如此，還可以畫出品質因數。
這會形成阻抗從零到無窮大的一系列弧線。當Q=0 時（理想的電阻），弧線便成爲一條從零到無窮大的直線，當Q 爲無窮大時（一個理想的電感或電容），弧線是沿着史密斯圖的圓周線的。在球形的史密斯圓圖上，Q 爲常數的線便形成了從北極Z=無窮大到南極Z=0 的弧線。見圖9。在x-y 平面上的Q 等值的圓周上具有一個零值，同時在x-y 平面上的具有一個Q 爲無窮大的Q 等值圓周。使用球形史密斯圓圖，當電阻爲負的時候，也可以很容易地使用Q 線。圖9 中增加了緯線。這些緯線是由|Z|爲常數時所形成的。赤道線代表的是|Z|=50Ω。
發展基礎：
史密斯圓圖的基本在於以下的算式
Γ代表其線路的反射係數(reflection coefficient)，即S-parameter裏的S11，Z是歸一負載值，即ZL / Z0。當中，ZL是線路的負載值
Z0是傳輸線的特徵阻抗值，通常會使用50Ω。
而史密斯圓圖則把“零”和“無窮大”都拉到了圖內。
圓圖中的橫座標代表反射係數的實部，縱座標代表虛部。圓形線代表等電阻圓，每個圓的圓心爲1/(R+1),半徑爲R/(R+1).R爲該圓上的點的電阻值。
中間的橫線與向上和向下散出的線則代表阻抗的虛數值，即等電抗圓，圓心爲1/X,半徑爲1/X.由於反射係數是小於等於1的，所以在等電抗圓落在單位圓以外的部分沒有意義。當中向上發散的是正數，向下發散的是負數。
圓圖最中間的點(Z=1+j0, Γ=0)代表一個已匹配(matched)的電阻數值(此ZL=Z0，即Z＝1)，同時其反射係數的值會是零。圓圖的邊緣代表其反射係數的幅度是1，即100%反射。
在圖邊的數字代表反射係數的角度(0-180度)。
有一些圓圖是以導納值(admittance)來表示，把上述的阻抗值版本旋轉180度即可。
圓圖中的每一點代表在該點阻抗下的反射係數。該電的阻抗實部可以從該電所在的等電阻圓讀出，虛部可以從該點所在的等電抗圓讀出。同時，該點到原點的距離爲反射係數的絕對值，到原點的角度爲反射係數的相位。
由反射係數可以得到電壓駐波比和回波損耗。
VSWR=(1+|Γ|)/(1-|Γ|).
Ploss＝10lg|Γ|2=20lg|Γ|
關於阻抗匹配的應用：
把阻抗圓圖與導納圓圖合併使用，可以把任意阻抗點通過沿等電阻圓，等電抗圓，等電納圓和等電導圓移動而匹配到原點（即阻抗匹配點）上。不同的移動方式對應不同的元件連接。
或許受到黎曼幾何的啓發，將直角座標系中的直線變化成爲曲線，
應用：
阻抗匹配
阻抗匹配（Impedancematching）是微波電子學裏的一部分，負載阻抗與激勵源內部阻抗互相適配，得到最大功率輸出的一種工作狀態,主要用於傳輸線上，來達至所有高頻的微波信號皆能傳至負載點的目的，不會有信號反射回來源點，從而提升能源效益。對於不同特性的電路，匹配條件是不一樣的。在純電阻電路中，當負載電阻等於激勵源內阻時，則輸出功率爲最大，這種工作狀態稱爲匹配，否則稱爲失配。當激勵源內阻抗和負載阻抗含有電抗成份時，爲使負載得到最大功率，負載阻抗與內阻必須滿足共軛關係，即電阻成份相等，電抗成份只數值相等而符號相反。這種匹配條件稱爲共軛匹配。
匹配條件
①負載阻抗等於信源內阻抗，即它們的模與輻角分別相等，這時在負載阻抗上可以得到無失真的電壓傳輸。
②負載阻抗等於信源內阻抗的共軛值，即它們的模相等而輻角之和爲零。這時在負載阻抗上可以得到最大功率。這種匹配條件稱爲共軛匹配。如果信源內阻抗和負載阻抗均爲純阻性，則兩種匹配條件是等同的。
結論
重點討論了傳統2-D 史密斯圓圖的侷限性。提出了一種克服這些侷限的擴展史密斯圓圖的想法。這種擴展包括從2-D 阻抗平面轉換到三維，並將其映射到球體的表面。