1 卷积神经网络（CNN）模型结构
在DNN大类中，卷积神经网络(Convolutional Neural Networks，以下简称CNN)是最为成功的DNN特例之一。
CNN广泛的应用于图像识别，当然现在也应用于NLP等其他领域，本文我们就对CNN的模型结构做一个总结。
1.1 CNN基本结构
首先我们来看看CNN的基本结构。一个常见的CNN例子如下图：
图中是一个图形识别的CNN模型。可以看出最左边的船的图像就是我们的输入层，计算机理解为输入若干个矩阵，这点和DNN基本相同。
卷积层，池化层这些概念以及作用意义暂时不用太纠结。
卷积层+池化层的组合可以在隐藏层出现很多次，上图中出现两次。而实际上这个次数是根据模型的需要而来的。当然我们也可以灵活使用卷积层+卷积层，或者卷积层+卷积层+池化层的组合，这些在构建模型的时候没有限制。但是最常见的CNN都是若干卷积层+池化层的组合，如上图中的CNN结构。
在若干卷积层+池化层后面是全连接层（Fully Connected Layer, 简称FC），全连接层其实就是我们前面讲的DNN结构，只是输出层使用了Softmax激活函数来做图像识别的分类。
从上面CNN的模型描述可以看出，CNN相对于DNN，比较特殊的是卷积层和池化层，如果我们熟悉DNN，只要把卷积层和池化层的原理搞清楚了，那么搞清楚CNN就容易很多了。
1.2 初识卷积
首先，我们去学习卷积层的模型原理，在学习卷积层的模型原理前，我们需要了解什么是卷积，以及CNN中的卷积是什么样子的。
微积分中卷积的表达式为：
离散形式是：
这个式子如果用矩阵表示可以为：
其中星号表示卷积。
如果是二维的卷积，则表示式为：
在CNN中，虽然我们也是说卷积，但是我们的卷积公式和严格意义数学中的定义稍有不同,比如对于二维的卷积，定义为：
其中，我们叫W为我们的卷积核，而X则为我们的输入。如果X是一个二维输入的矩阵，而W也是一个二维的矩阵。但是如果X是多维张量，那么W也是一个多维的张量。
1.3 CNN中的卷积层
有了卷积的基本知识，我们现在来看看CNN中的卷积，假如是对图像卷积，回想我们的上一节的卷积公式，其实就是对输出的图像的不同局部的矩阵和卷积核矩阵各个位置的元素相乘，然后相加得到。
最终我们得到卷积输出的矩阵为一个2x3的矩阵S。
再举一个动态的卷积过程的例子如下：
我们有下面这个绿色的5x5输入矩阵，卷积核是一个下面这个黄色的3x3的矩阵。卷积的步幅是一个像素。则卷积的过程如下面的动图。卷积的结果是一个3x3的矩阵。
上面举的例子都是二维的输入，卷积的过程比较简单，那么如果输入是多维的呢？比如在前面一组卷积层+池化层的输出是3个矩阵，这3个矩阵作为输入呢，那么我们怎么去卷积呢？又比如输入的是对应RGB的彩色图像，即是三个分布对应R，G和B的矩阵呢？
在斯坦福大学的cs231n的课程上，有一个动态的例子，大家打开这个例子可以看到，这里面输入是3个7x7的矩阵。实际上原输入是3个5x5的矩阵。只是在原来的输入周围加上了1的padding，即将周围都填充一圈的0，变成了3个7x7的矩阵。
例子里面使用了两个卷积核，我们先关注于卷积核W0。和上面的例子相比，由于输入是3个7x7的矩阵，或者说是7x7x3的张量，则我们对应的卷积核W0也必须最后一维是3的张量，这里卷积核W0的单个子矩阵维度为3x3。那么卷积核W0实际上是一个3x3x3的张量。同时和上面的例子比，这里的步幅为2，也就是每次卷积后会移动2个像素的位置。
最终的卷积过程和上面的2维矩阵类似，上面是矩阵的卷积，即两个矩阵对应位置的元素相乘后相加。这里是张量的卷积，即两个张量的3个子矩阵卷积后，再把卷积的结果相加后再加上偏倚b。
7x7x3的张量和3x3x3的卷积核张量W0卷积的结果是一个3x3的矩阵。由于我们有两个卷积核W0和W1，因此最后卷积的结果是两个3x3的矩阵。或者说卷积的结果是一个3x3x2的张量。
仔细回味下卷积的过程，输入是7x7x3的张量，卷积核是两个3x3x3的张量。卷积步幅为2，最后得到了输出是3x3x2的张量。如果把上面的卷积过程用数学公式表达出来就是：
通过上面的例子，相信大家对CNN的卷积层的卷积过程有了一定的了解。
对于卷积后的输出，一般会通过ReLU激活函数，将输出的张量中的小于0的位置对应的元素值都变为0。
1.4 CNN中的池化层
相比卷积层的复杂，池化层则要简单的多。
所谓的池化，个人理解就是对输入张量的各个子矩阵进行压缩。假如是2x2的池化，那么就将子矩阵的每2x2个元素变成一个元素，如果是3x3的池化，那么就将子矩阵的每3x3个元素变成一个元素，这样输入矩阵的维度就变小了。
要想将输入子矩阵的每nxn个元素变成一个元素，那么需要一个池化标准。
常见的池化标准有2个，MAX或者是Average。即取对应区域的最大值或者平均值作为池化后的元素值。
下面这个例子采用取最大值的池化方法。同时采用的是2x2的池化。步幅为2。
首先对红色2x2区域进行池化，由于此2x2区域的最大值为6.那么对应的池化输出位置的值为6，由于步幅为2，此时移动到绿色的位置去进行池化，输出的最大值为8.同样的方法，可以得到黄色区域和蓝色区域的输出值。最终，我们的输入4x4的矩阵在池化后变成了2x2的矩阵。进行了压缩。
2 卷积神经网络前向传播算法
2.1 回顾CNN的结构
CNN的结构，包括输入层，若干的卷积层+ReLU激活函数，若干的池化层，DNN全连接层，以及最后的用Softmax激活函数的输出层。这里我们用一个彩色的汽车样本的图像识别再从感官上回顾下CNN的结构。图中的CONV即为卷积层，POOL即为池化层，而FC即为DNN全连接层，包括了我们上面最后的用Softmax激活函数的输出层。
从上图可以看出，要理顺CNN的前向传播算法，重点是输入层的前向传播，卷积层的前向传播以及池化层的前向传播。而DNN全连接层和用Softmax激活函数的输出层的前向传播算法我们在讲DNN时已经讲到了。
2.2 CNN输入层前向传播到卷积层
输入层的前向传播是CNN前向传播算法的第一步。
一般输入层对应的都是卷积层，因此我们标题是输入层前向传播到卷积层。
我们这里还是以图像识别为例。先考虑最简单的，样本都是二维的黑白图片。这样输入层
X就是一个矩阵，矩阵的值等于图片的各个像素位置的值。这时和卷积层相连的卷积核W就也是矩阵。如果样本都是有RGB的彩色图片，这样输入X就是3个矩阵，即分别对应R，G和B的矩阵，或者说是一个张量。这时和卷积层相连的卷积核W就也是张量，对应的最后一维的维度为3.即每个卷积核都是3个子矩阵组成。同样的方法，对于3D的彩色图片之类的样本，我们的输入X可以是4维，5维的张量，那么对应的卷积核W也是个高维的张量。
不管维度多高，对于我们的输入，前向传播的过程可以表示为：
其中，上标代表层数，星号代表卷积，而b代表我们的偏倚, σ为激活函数，这里一般都是ReLU。
和DNN的前向传播比较一下，其实形式非常的像，只是我们这儿是张量的卷积，而不是矩阵的乘法。同时由于W是张量，那么同样的位置，W参数的个数就比DNN多很多了。
为了简化我们的描述，本文后面如果没有特殊说明，我们都默认输入是3维的张量，即用RBG可以表示的彩色图片。
这里需要我们自己定义的CNN模型参数是：
1） 一般我们的卷积核不止一个，比如有K个，那么我们输入层的输出，或者说第二层卷积层的对应的输入就K个。
2） 卷积核中每个子矩阵的的大小，一般我们都用子矩阵为方阵的卷积核，比如FxF的子矩阵。
3） 填充padding（以下简称P），我们卷积的时候，为了可以更好的识别边缘，一般都会在输入矩阵在周围加上若干圈的0再进行卷积，加多少圈则P为多少。
4） 步幅stride（以下简称S），即在卷积过程中每次移动的像素距离大小。
2.3 隐藏层前向传播到卷积层
现在我们再来看普通隐藏层前向传播到卷积层时的前向传播算法。
假设隐藏层的输出是M个矩阵对应的三维张量，则输出到卷积层的卷积核也是M个子矩阵对应的三维张量。这时表达式和输入层的很像，也是
其中，上标代表层数，星号代表卷积，而b代表我们的偏倚, σ为激活函数，这里一般都是ReLU。
也可以写成M个子矩阵子矩阵卷积后对应位置相加的形式，即：
和上一节唯一的区别仅仅在于，这里的输入是隐藏层来的，而不是我们输入的原始图片样本形成的矩阵。
需要我们定义的CNN模型参数也和上一节一样，这里我们需要定义卷积核的个数K，卷积核子矩阵的维度F，填充大小P以及步幅S。
2.4 隐藏层前向传播到池化层
池化层的处理逻辑是比较简单的，我们的目的就是对输入的矩阵进行缩小概括。比如输入的若干矩阵是NxN维的，而我们的池化大小是kxk的区域，则输出的矩阵都是N/k×N/k维的。
这里需要需要我们定义的CNN模型参数是：
1）池化区域的大小k
2）池化的标准，一般是MAX或者Average。
2.5 隐藏层前向传播到全连接层
由于全连接层就是普通的DNN模型结构，因此我们可以直接使用DNN的前向传播算法逻辑，即：
这里的激活函数一般是sigmoid或者tanh。
经过了若干全连接层之后，最后的一层为Softmax输出层。此时输出层和普通的全连接层唯一的区别是，激活函数是softmax函数。
这里需要需要我们定义的CNN模型参数是：
1）全连接层的激活函数
2）全连接层各层神经元的个数
2.6 CNN前向传播算法小结
有了上面的基础，我们现在总结下CNN的前向传播算法。
输入：1个图片样本，CNN模型的层数L和所有隐藏层的类型，对于卷积层，要定义卷积核的大小K，卷积核子矩阵的维度F，填充大小P，步幅S。对于池化层，要定义池化区域大小k和池化标准（MAX或Average），对于全连接层，要定义全连接层的激活函数（输出层除外）和各层的神经元个数。
以上就是CNN前向传播算法的过程总结。
3 卷积神经网络反向传播算法
3.1 回顾DNN的反向传播算法
现在我们想把同样的思想用到CNN中，很明显，CNN有些不同的地方，不能直接去套用DNN的反向传播算法的公式。
3.2 CNN的反向传播算法思想
要套用DNN的反向传播算法到CNN，有几个问题需要解决：
下面我们就针对问题2,3,4来一步步研究CNN的反向传播算法。
在研究过程中，需要注意的是，由于卷积层可以有多个卷积核，各个卷积核的处理方法是完全相同且独立的，为了简化算法公式的复杂度，我们下面提到卷积核都是卷积层中若干卷积核中的一个。
这里的式子其实和DNN的类似，区别在于对于含有卷积的式子求导时，卷积核被旋转了180度。即式子中的rot180()，翻转180度的意思是上下翻转一次，接着左右翻转一次。在DNN中这里只是矩阵的转置。那么为什么呢？由于这里都是张量，直接推演参数太多了。我们以一个简单的例子说明为啥这里求导后卷积核要翻转。
这上面9个式子其实可以用一个矩阵卷积的形式表示，即：
为了符合梯度计算，我们在误差矩阵周围填充了一圈0，此时我们将卷积核翻转后和反向传播的梯度误差进行卷积，就得到了前一次的梯度误差。这个例子直观的介绍了为什么对含有卷积的式子求导时，卷积核要翻转180度的原因。
以上就是卷积层的误差反向传播过程。
3.6 CNN反向传播算法总结
现在我们总结下CNN的反向传播算法，以最基本的批量梯度下降法为例来描述反向传播算法。
输入：m个图片样本，CNN模型的层数L和所有隐藏层的类型，对于卷积层，要定义卷积核的大小K，卷积核子矩阵的维度F，填充大小P，步幅S。对于池化层，要定义池化区域大小k和池化标准（MAX或Average），对于全连接层，要定义全连接层的激活函数（输出层除外）和各层的神经元个数。梯度迭代参数迭代步长α,最大迭代次数MAX与停止迭代阈值ϵ
输出：CNN模型各隐藏层与输出层的 W，b
