染色法(判定二分圖) + 匈牙利算法(求二分圖的最大匹配)

染色法(判定二分圖) + 匈牙利算法(求二分圖的最大匹配)

1、染色法(判定二分圖)

給定一個n個點m條邊的無向圖，圖中可能存在重邊和自環。

請你判斷這個圖是否是二分圖。

輸入格式
第一行包含兩個整數n和m。

接下來m行，每行包含兩個整數u和v，表示點u和點v之間存在一條邊。

輸出格式
如果給定圖是二分圖，則輸出“Yes”，否則輸出“No”。

數據範圍
1≤n,m≤105
輸入樣例：
4 4
1 3
1 4
2 3
2 4
輸出樣例：
Yes

---

分析：

二分圖：$可以把一個點集中的點分爲兩個子集，所有邊均在兩個子集之間，子集內部沒有邊。$

$圖中無奇數環<=>二分圖。$

$染色法判定二分圖：\\數組color標記每個點的顏色，共兩種顏色，分別是1號色與2號色，0表示未染色。$

$接着我們先任選圖中的某點i開始染1號色，同時將與之相連的點j染成2號色。\\如果存在某個點j已經染成了1號色，說明存在衝突，就不是二分圖。$

注意：

$①、1號色與2號色的翻轉可以通過被3減來轉換(3-1=2，3-2=1)。$

$②、鄰接表存圖，記得初始化表頭數組h，否則會TLE。$

代碼；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N=1e5+10,M=2*N;

int n,m,e[M],ne[M],h[N],color[N],idx;

void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

bool dfs(int u,int c)
{
    color[u]=c;
    
    for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        if(!color[j])
            if(!dfs(j,3-c)) return false;
        if(color[j]==c) return false;
    }
    
    return true;
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b),add(b,a);
    }
    
    bool flag=true;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!color[i])
            if(!dfs(i,1))
            {
                flag=false;
                break;
            }
            
    if(flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

---

2、匈牙利算法(求二分圖的最大匹配)

給定一個二分圖，其中左半部包含n1個點（編號1~ n1），右半部包含n2個點（編號1~n2），二分圖共包含m條邊。

數據保證任意一條邊的兩個端點都不可能在同一部分中。

請你求出二分圖的最大匹配數。

二分圖的匹配：給定一個二分圖G，在G的一個子圖M中，M的邊集{E}中的任意兩條邊都不依附於同一個頂點，則稱M是一個匹配。

二分圖的最大匹配：所有匹配中包含邊數最多的一組匹配被稱爲二分圖的最大匹配，其邊數即爲最大匹配數。

輸入格式
第一行包含三個整數 n1、 n2 和 m。

接下來m行，每行包含兩個整數u和v，表示左半部點集中的點u和右半部點集中的點v之間存在一條邊。

輸出格式
輸出一個整數，表示二分圖的最大匹配數。

數據範圍
1≤n1,n2≤500,
1≤u≤n1,
1≤v≤n2,
1≤m≤10⁵

輸入樣例：
2 2 4
1 1
1 2
2 1
2 2
輸出樣例：
2

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分析：

$二分圖的最大匹配即二分圖中一對一匹配的點對的數量。$

具體步驟：

$從前到後先直接匹配，若出現衝突(假設A與B已匹配好，C要與B匹配)，就查看A能否與其他點D匹配，\\若能，就將A改爲與D匹配，C與B匹配。若不能，則匹配失敗。\\以上過程是一個遞歸的過程，即若A能與D匹配，但是D也已經與E匹配，那麼E再看看能否與F匹配...$

示例：

$假設最初還未配對時，各點之間的關係如下：$
$鄰接表：\\A-D,E\\B-E,F\\C-D$

$接着，從上到下:\\A先與D配對，成功。B直接先與E配對，成功。對應兩條紅線。$

$當給C進行配對時，發生了衝突，對應上圖的綠線，D已經與A配對。\\此時我們再查看A能否與其他點配對，A與E也是有連接關係的，A再去與E配對，但是E也已經與B配對好了，\\再重複以上操作，看B能否與其他點配對，發現B與F是有連接關係的，並且F還未配對，此時直接將B與F配對。\\這時A就能和E配對了，C也能和D配對了。$

$形象地，我們可將上述過程視作一次相親大會，3對男生和女生。$

$男生A對女生D和E有好感，男生B對女生E和F有好感，而男生C相對癡情專一，只想和女生D在一起。$

$按照順序，\\首先男生A發現女生D對他也有好感，於是A與D暫時牽手成功。\\接着男生B發現女生E對他也有好感，於是B與E暫時牽手成功。\\最後男生C急了，他執意要追求女生D，此時男生A沒有辦法，他只能忍痛放手，但是他決定去追女生E。\\這時男生B也沒有辦法，只好與E分手，但他還喜歡女生F，所幸女生F還單身，於是B與F牽手成功。\\最後A追到了E，B追到了F，C追到了D。結果相親大會成功撮合了3對(完美)。$

代碼：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>

using namespace std;

const int N=510,M=1e5+10;

int n1,n2,m;
int e[M],ne[M],idx,h[N];
int match[N];
bool st[N];

void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

bool find(int u)
{
    for(int i=h[u];~i;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        if(!st[j])
        {
            st[j]=true;
            if(match[j]==0 || find(match[j]))
            {
                match[j]=u;
                return true;
            }
        }
    }
    
    return false;
}

int main()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n1>>n2>>m;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
    }
    
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n1;i++)
    {
        memset(st,false,sizeof st);
        if(find(i)) res++;
    }
    
    cout<<res<<endl;
    
    return 0;
}

---