1297：公共子序列
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【題目描述】
我們稱序列Z=<z1,z2,…,zk>是序列X=<x1,x2,…,xm>的子序列當且僅當存在嚴格上升的序列<i1,i2,…,ik>，使得對j=1,2,…,k,有xij=zj。比如Z=<a,b,f,c> 是X=<a,b,c,f,b,c>的子序列。
現在給出兩個序列X和Y，你的任務是找到X和Y的最大公共子序列，也就是說要找到一個最長的序列Z，使得Z既是X的子序列也是Y的子序列。
【輸入】
輸入包括多組測試數據。每組數據包括一行，給出兩個長度不超過200的字符串，表示兩個序列。兩個字符串之間由若干個空格隔開。
【輸出】
對每組輸入數據，輸出一行，給出兩個序列的最大公共子序列的長度。
【輸入樣例】
abcfbc abfcab
programming contest
abcd mnp
【輸出樣例】
4
2
0
思路：設 A=(A1,A2,…An) 和 B={B1,B2,…Bm} 是兩個序列，將 A 和 B的最長公共子序列記爲LCS(A,B)
找出LCS(A,B)就是一個最優化問題。因爲，我們需要找到A 和 B中最長的那個公共子序列。而要找A 和 B的LCS，首先考慮A的最後一個元素和B的最後一個元素。
如果 An=Bm，即X的最後一個元素與Y的最後一個元素相同，這說明該元素一定位於公共子序列中。因此，現在只需要找：LCS(An-1，Bm-1)
如果An != Bm，產生了兩個子問題：LCS(An-1，Bm) 和 LCS(An，Bm-1)，因爲序列A 和 序列B 的最後一個元素不相等，那說明最後一個元素不可能是最長公共子序列中的元素。求解上面兩個子問題，得到的公共子序列誰最長，那誰就是 LCS（A,B）。用數學表示就是：LCS=max{LCS(An-1，Bm)，LCS(An，Bm-1)}
我們要求f[i] [j]，先判斷s1的第i個元素s2的第j個元素是否相同即判斷s1[i - 1]和 s2[j -1]是否相同，如果相同它就是f[i - 1] [j- 1] +1，相當於在兩個字符串都去掉一個字符時的最長公共子串再加 1；否則最長公共子串取f[i] [j-1]或f[i-1] [j]。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define N 1000
using namespace std;
string s1,s2;
int f[N][N],lena,lenb;
int main(){
while(cin >> s1 >> s2)
{
memset(f,0,sizeof(f));
lena = s1.size();
lenb = s2. size();
for(int i = 1; i <= lena;i++){
for(int j = 1;j <= lenb;j++){
if(s1[i-1] == s2[j-1])
f[i][j] = max(f[i-1][j-1] + 1,f[i][j]);
else
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
}
}
printf("%d\n",f[lena][lenb]);
s1.clear();
s2.clear();
}
return 0;
}