【位運算】二進制枚舉入門

一、Problem

有 5 種硬幣，他們面值分別爲：1，2， 3， 4， 5，請列出所有面值組合。比如如果選出面值爲 1、3、4 的硬幣，則輸出 1 3 4

二、Solution

方法一：位運算

這似乎就是在有 N 個元素的集合裏求不同的子集，而又有

• 含有 0 個元素的子集有 $C_N^0$ 個，
• 含有 1 個元素的子集有 $C_N^1$ 個，
• 含有 2 個元素的子集有 $C_N^2$ 個，
  …

又二項式定理得： $C_N^0$ + $C_N^1$ + $C_N^2$ + … + $C_N^N$ = $2^N$，也就是說不同的子集的個數爲 $2^N$ 個。

回到題目中，不妨用二進制位 1 來表示集合 set 中被選中的元素，0 表示集合 set 中沒被選中的元素，那麼我選 1 3 4 這三個面值則應爲：

set	1	2	3	4	5
二進制	1	0	1	1	0
面值狀態	√	×	√	√	×

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
	static class Solution {
		void binary_enum(int n) {
			int tot = 1 << n;
			for (int i = 0; i < tot; i++) {
				for (int j = 0; j < n; j++) {
					if ((i & (1 << j)) > 0)
						System.out.printf("%d ", j);
				}
				System.out.println();
			}
		}
		void init() {
			Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
			int n = sc.nextInt();
			binary_enum(n);
		}
	}
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        Solution s = new Solution();
		s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(2^N × N)$，
• 空間複雜度：$O(1)$，