【數組】B061_LC_形成兩個異或相等數組的三元組數目（暴力 / 暴力優化 / 前綴和 / 異或規則）

一、Problem

Given an array of integers arr. We want to select three indices i, j and k where (0 <= i < j <= k < arr.length).

Let’s define a and b as follows:

a = arr[i] ^ arr[i + 1] ^ ... ^ arr[j - 1]
b = arr[j] ^ arr[j + 1] ^ ... ^ arr[k]

Note that ^ denotes the bitwise-xor operation.

Return the number of triplets (i, j and k) Where a == b.

Input: arr = [2,3,1,6,7]
Output: 4
Explanation: The triplets are (0,1,2), (0,2,2), (2,3,4) and (2,4,4)

二、Solution

方法一：暴力（超時）

class Solution {
    public int countTriplets(int[] arr) {
        int cnt = 0, N = arr.length;
        for (int i = 0; i < N-1; i++)
        for (int j = i+1; j < N; j++) {
            for (int k = j; k < N; k++) {
                int a = arr[i];
                for (int l = i+1; l <= j-1; l++)
                    a ^= arr[l];
                int b = arr[j];
                for (int l = j+1; l <= k; l++)
                    b ^= arr[l];
                if (a == b) cnt++;
            }
        }
        return cnt;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^4)$，
• 空間複雜度：$O(1)$，

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方法二：優化

• 其實不用顯式地將 a 異或上區間 $[i, j-1]$ 中的數，b 也不用，取而代之的是
• 第一層循環先確定 $a$，第二層循環先確定 $b$，第三層循環開始將區間 $[j, N]$ 的數異或上 $b$。
• 第三層循環結束，代表從 b 已經枚舉完畢，那麼 a 就可以繼續異或上第二層循環中的數。

這樣可將複雜度降爲 $O(n^3)$，運算量大約爲 $300^3$ = 兩千七百萬，勉強過啦…

class Solution {
    public int countTriplets(int[] arr) {
        int cnt = 0, N = arr.length;
        for (int i = 0; i < N-1; i++) {
            int a = arr[i];
            for (int j = i+1; j < N; j++) {
                int b = arr[j];
                for (int k = j; k < N; k++) {
                    if (k != j) b ^= arr[k];
                    if (a == b) cnt++;
                }
                a ^= arr[j];
            }
        }
        return cnt;
    }
}

前綴和

較容易理解的算法，預處理好每一段的異或和，

class Solution {
    public int countTriplets(int[] arr) {
        int cnt = 0, N = arr.length, pre[] = new int[N+1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) pre[i] = pre[i-1] ^ arr[i-1];

        for (int i = 1; i <= N-1; i++)
        for (int j = i+1; j <= N; j++)
        for (int k = j; k <= N; k++) {
            if ((pre[i-1] ^ pre[j-1]) == (pre[j-1] ^ pre[k]))
                cnt++;
        }
        return cnt;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^3)$，
• 空間複雜度：$O(1)$，

不知道還有沒有更優的解法…

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方法三：最優解

• 由位運算規則得：a^b=0，得 $a=b$
• 如果 a = b，即 arr[i] ^ … ^ arr[k] = 0，那麼 j 只要在 [i+1, k] 中選一個數即可，爲什麼？
• 由上可得，如果 a[i] ^ … ^ a[j-1] = C ，那麼 a[j] ^… a[k] 的值也必須等於 C，否則，兩者異或的值就不等於 0

class Solution {
    public int countTriplets(int[] arr) {
        int n = arr.length, cnt = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a = arr[i];
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                a ^= arr[j];
                if (a == 0)
                    cnt += j - i;
            }
        } 
        return cnt;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$，
• 空間複雜度：$O(1)$，

還有更優的做法嗎？

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方法四：前綴和 + map

佛樂…

代辦...

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，