【位運算】C014_LC_ 可被 5 整除的二進制前綴（暴力大數 / 同餘（2轉10進制 新發現)）

一、Problem

給定由若干 0 和 1 組成的數組 A。我們定義 N_i：從 A[0] 到 A[i] 的第 i 個子數組被解釋爲一個二進制數（從最高有效位到最低有效位）。

返回布爾值列表 answer，只有當 N_i 可以被 5 整除時，答案 answer[i] 爲 true，否則爲 false。

輸入：[0,1,1]
輸出：[true,false,false]
解釋：
輸入數字爲 0, 01, 011；也就是十進制中的 0, 1, 3 。只有第一個數可以被 5 整除，因此 answer[0] 爲真。

提示：

1 <= A.length <= 30000
A[i] 爲 0 或 1

二、Solution

方法一：大數暴力

超時之 23/24

import java.math.*;
class Solution {
    public List<Boolean> prefixesDivBy5(int[] A) {
        int n = A.length;
        StringBuilder[] pre = new StringBuilder[n+1];
        pre[0] = new StringBuilder();
        List<Boolean> ans = new LinkedList<>();
        
        for (int i = 1; i <= n; i++)  {
            pre[i] = new StringBuilder(pre[i-1]);
            pre[i].append(A[i-1]);
        }
        
        BigInteger Five = new BigInteger("5"), zero = BigInteger.ZERO;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            BigInteger v = new BigInteger(pre[i].toString(), 2);
            ans.add(zero.equals(v.mod(Five)));
        }
        return ans;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n^2)$，
• 空間複雜度：$O()$，

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方法二：同餘

這題的關鍵是：知道一個二進制串 s，如何按照從左到右的順序去算出串對應的十進制呢？（ps：我們 2 轉 10 進制，我們一般是從低位到高位進行計算的），直接給出公式把：
$x = (x << 1) + s[i]（i∈[0,n-1]）$

class Solution {
    public List<Boolean> prefixesDivBy5(int[] A) {
        List<Boolean> ans = new LinkedList<>();
        int x = 0;
        for (int v : A) {
            x = ((x << 1) + v) % 5;
            ans.add(x % 5 == 0); 
        }
        return ans;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，