數論 - 篩法求歐拉函數

數論 - 篩法求歐拉函數

給定一個正整數n，求1~n中每個數的歐拉函數之和。

輸入格式
共一行，包含一個整數n。

輸出格式
共一行，包含一個整數，表示1~n中每個數的歐拉函數之和。

數據範圍
1≤n≤10⁶

輸入樣例：
6
輸出樣例：
12

---

分析：

$先預處理歐拉函數再求和。$

$歐拉函數：$
$\phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_n})，其中p_1,p_2,...,p_n是n的質因子。$

$表示的是1$~$n-1中與n互質的數的個數。$

$考慮線性篩的過程：$

$①、若i是質數，則\phi(i)=i-1。$

$②、若i是合數，$

$\\\qquad若\ i\%p_j =0，則i的質因子與i×p_j的質因子完全相同，由\phi(i)=i(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_i})，\\\qquad得\phi(p_j×i)=p_j×i(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_i})=p_j×\phi(i)。$

$\\\qquad若\ i\%p_j ≠0，則i的質因子比i×p_j少p_j，由\phi(i)=i(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_i})，\\\qquad得\phi(p_j×i)=p_j×i×(1-\frac{1}{p_j})(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_i})=p_j(1-\frac{1}{p_j})×\phi(i)。$

代碼：

#include<iostream>

using namespace std;

#define ll long long

const int N=1e6+10;

int n,phi[N],prime[N],cnt;
bool st[N];

ll get_euler(int x)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=x;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            st[i]=true;
            prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;prime[j]<=x/i;j++)
        {
            st[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*phi[i];
        }
    }
    
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=x;i++) res+=phi[i];
    
    return res;
}

int main()
{
    cin>>n;
    cout<<get_euler(n)<<endl;
    
    return 0;
}