數學分析 - 反常積分

前面的定積分討論中的兩個最基本的限制爲：積分區間的有窮性和被積函數的有界性，本章的反常積分將突破這兩個限制

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反常積分的概念

|| 定義一：第一類反常積分的定義
設函數 f 定義在有窮區間[ a,+∞)上，且在定義域內任何的有限區間中都可積。如果存在以下極限，則稱極限 j 爲函數 f 在[ a,+∞)上的無窮限反常積分（無窮積分）：

|| 雙無窮：在（-∞+∞）上的無窮積分使用兩個無窮積分來定義：

|| 定義二：設函數 f 定義在區間(a, b]上，在點a的任一右鄰域內無界，但在定義域內任何有限閉區間內都有界且可積，若存在以下極限，則稱此極限爲無界函數 f 在 (a, b]上的反常積分（瑕積分）：

（注意：f 在點a近旁無界，稱a爲 f 的瑕點）

|| 雙瑕點：瑕點爲a和 b的瑕積分積分使用瑕積分來定義

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無窮積分的性質和收斂判別

無窮積分的性質

|| 定理1：無窮積分收斂的充要條件（即需要滿足極限存在性，使用 柯西準則 即可）
無窮積分∫^+∞_a收斂的充要條件：任給ε>0,存在G≥a，只要u₁,u₂>G,便有：

|| 性質1：無窮積分四則運算中的收斂：

|| 性質2：無窮積分區間相加中的收斂：

|| 性質2的引理： 無窮積分收斂的第二個充要條件：
任給ε>0,存在G≥a，只要u >G,有：

|| 性質3：絕對收斂的無窮積分，自身也必收斂

注意：當∫^+∞_a | f( x) |dx收斂，則稱無窮極限爲絕對收斂，把自身收斂但是不絕對收斂的無窮積稱爲條件收斂

|| 定理2：絕對收斂的判斷（比較法則）
設函數 f，g 都有無窮積分，且滿足 | f(x) | ≤ g(x), x∈[a, +∞），則當∫^+∞_a g( x)dx收斂時， ∫^+∞_a | f( x) |dx 必收斂，∫^+∞_a | f( x) |dx發散時，∫^+∞_a f( x)dx必發散
（即找到其 |f(x)| 上界）

|| 比較法則的推論一：比值常數法

|| 比較法則的推論二和推論三：柯西判別法（使用 1/ x^p作爲比較對象）

|| 定理3： 狄利克雷判別法

|| 定理4：阿貝爾判別法

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瑕積分的性質和收斂判別

|| 定理5：瑕積分收斂的充要條件

|| 性質1：瑕積分四則運算中的收斂

|| 性質2：瑕積分區間相加中的收斂

|| 性質三：絕對函數中的收斂

|| 定理6：比較法則

|| 比較法則的推論一：比值常數法

|| 比較法則的推論二和三：柯西比較法 （以 1/(x - a)^p 作爲比較對象）