數學分析 - 定積分的應用

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平面圖形的面積

1，上下兩條曲線和兩側兩側x=a，x=b所圍成的面積（轉換x，y軸，使積分變量改變也可以達到這種形狀）

2，由參數方程曲線即兩側x=a，x=b和 x軸所圍成的圖形

3，由極座標方程確定的扇形面積

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由平行截面面積求體積

記Ω爲位於平面a，b中的立體，稱其爲位於[a，b]的立體，若在任意一點x∈[a, b]處作垂直於x軸的平面，截面面積記爲A（x），x∈[a, b]，稱A（x）爲Ω的截面面積函數

|| 已知截面的任一立體的體積：

|| 旋轉體的體積：

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平面直線的弧長和曲率

平面直線的弧長

|| 定義一：弧長的定義
對曲線C進行分割，將分割連起來形成n條弦，弦又聯結成一條內接折線，現有最長弦的長度和折線的總長度：

若對於曲線C無論怎樣的分割T，如果存在有限極限：，則稱曲線C是可求長的，並且把極限s定義爲曲線C的弧長

|| 定義二：光滑曲線的定義
設平面曲線C由參數方程x=x(t), y=y(t) 給出，且兩函數再定義域內連續可微，且不同時爲0，則稱C爲一條光滑曲線

|| 定理1：弧長的公式：
若C是由參數方程定義的，且是光滑曲線，則c是可求長的，且弧長s爲：

|| 推廣：若C是由其他方程決定的情況下

• 若C是由直角座標方程定義的，將它看成參數方程 x = x , y = f(x) ，對應的弧長公式：
  

• 若C是由極座標方程定義的，將它看成參數方程 x = r(θ)cosθ y = r(θ)sinθ，對應的弧長公式：
  

曲線的曲率

設a( t )爲曲線在點p（x(t), y(t)）上切線的傾角函數，▲a表示切線傾角的增量

|| 平均曲率的定義：
若▲a = a（t+▲t）- a ( t )表示動點由P（x(t), y(t)）沿曲線移至Q（x(t + ▲t), y(t + ▲t)）時切線傾角的增量，若PQ之長爲▲s，則弧段PQ的平均曲率爲：

|| 曲率的定義：
以上的平均曲率若存在以下有限極限，則稱極限K爲曲線C在P處的曲率：
其中的ds 稱作弧微分 ds = (根號（dx²+dy²）, 代入公式中有：

|| 曲率圓，曲率半徑，曲率中心的定義：

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旋轉曲面的面積

|| 旋轉曲面的面積公式：

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定積分的近似計算

• 梯形法
• 拋物線法