旋轉的描述【1】——方向餘弦矩陣

1.定義

 方向餘弦矩陣是由兩組不同標準正交基 的基底向量之間的方向餘弦所形成的矩陣。
 通常一個矢量$V$在某個座標系內可用矢量的座標和該座標系的標準正交基來表示。例如，一個矢量在直角$XYZ$座標系下的座標爲$(a,b,c)$，則$V=ai+bj+ck$。這裏的$i,j,k$即爲座標系的標準正交基，分別是$XYZ$三軸的單位矢量，模值均爲1。
 方向餘弦矩陣可以用來表達一組標準正交基與另一組標準正交基之間的轉化關係，也可以用來表達一個向量對於另一組標準正交基的方向餘弦。換句話說，方向餘弦矩陣可以表示兩個座標系間的角位置關係，也可以表示一個向量相對於一個座標系的角位置。

2.推導

2.1 已知條件

 如定義所言，標準正交基可以確定一個座標系。
 假設有一個座標系n，經繞着原點的旋轉後到達座標系b，那如何表示旋轉後的座標系b呢？我們自然想到，如果座標系b的標準正交基可以用座標系n的標準正交基表示，那麼就可以在座標系n內確定座標系b，兩個座標系的相對角位置就確定了。

2.2 推導目標

 將座標系b的標準正交基用座標系n的標準正交基表示，換句話講，求座標系b標準正交基在座標系n內的座標。

2.3 推導過程

 先看二維情況，如圖所示，假設座標系$X_{b}Y_{b}$和座標系$X_{n}Y_{n}$，分別稱爲$b$系和$n$系，其基底分別爲$i_{b},j_{b}$和$i_{n},j_{n}$，座標系$b$由座標系$n$旋轉得到。考慮用$n$系的標準正交基來表示$b$的標準正交基，於是將$b$系標準正交基的基底（以下簡稱基底）投影到$n$系。結合向量內積的含義，得到如下圖所示的關係。

 如上圖所示，基底$i_{b}$需要投影到$n$系下水平$i_{n}$和垂直$j_{n}$兩個方向。先看投影到$i_{n}$的部分，投影到$i_{n}$的分量由兩部分構成，前面括號裏的內積$i_{b} \cdot i_{n}$表示$i_{b}$投影到$i_{n}$的大小，後面的$i_{n}$表示投影矢量方向。由於兩個矢量都是單位矢量，
$i_{b} \cdot i_{n}=\lvert i_{b}\rvert* \lvert i_{n}\rvert * cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle=\lvert i_{b}\rvert * cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle=cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle\tag{1}$類比可以得到$i_{b}$投影到$n$系下垂直$j_{n}$方向的分量。
於是，基底$i_{b}$在$n$系下可以表示爲
$i_{b}=(i_{b} \cdot i_{n})i_{n}+(i_{b} \cdot j_{n})j_{n}\tag{2}$同理可得，基底$j_{b}$在$n$系下可以表示爲
$j_{b}=(j_{b} \cdot i_{n})i_{n}+(j_{b} \cdot j_{n})j_{n}\tag{3}$
將式$(2)(3)$寫爲矩陣形式有，
$\left [ \begin{matrix} i_{b} & j_{b} \end{matrix}\right ]=\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n} \end{matrix}\right ]\begin{bmatrix} i_{b}\cdot i_{n} & j_{b}\cdot i_{n}\\ i_{b}\cdot j_{n}& j_{b}\cdot j_{n} \end{bmatrix}\tag{4}$
結合$(1)$式，上式可寫爲
$\left [ \begin{matrix} i_{b} & j_{b} \end{matrix}\right ]=\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n} \end{matrix}\right ]\begin{bmatrix} cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle &cos \left \langle j_{b},i_{n} \right \rangle\\ cos \left \langle i_{b},j_{n} \right \rangle& cos \left \langle j_{b},j_{n} \right \rangle \end{bmatrix}\tag{4}$
 將以上情況推廣到三維情況下時，標準正交基中增加基底$k$，容易得到相應的基底變換式爲：
$\begin{aligned}\left [ \begin{matrix} i_{b} & j_{b}& k_{b} \end{matrix}\right ]&=\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{b} \end{matrix}\right ]\begin{bmatrix} cos \left \langle i_{b},i_{n} \right \rangle &cos \left \langle j_{b},i_{n} \right \rangle&cos \left \langle k_{b},i_{n} \right \rangle\\ cos \left \langle i_{b},j_{n} \right \rangle& cos \left \langle j_{b},j_{n} \right \rangle& cos \left \langle k_{b},j_{n} \right \rangle\\ cos \left \langle i_{b},k_{n} \right \rangle& cos \left \langle j_{b},k_{n} \right \rangle& cos \left \langle k_{b},k_{n} \right \rangle\\ \end{bmatrix} \\ &= \left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{b} \end{matrix}\right ]P_{n}^b\end{aligned}\tag{5}$
 下面分析式$(5)$。整體來看，通過矩陣$P_{n}^b$即可利用$n$系基底表示$b$系基底，因此稱$P_{n}^b$爲從$n$繫到$b$的過渡矩陣，或 座標系/基 變換矩陣，其中$P_{n}^b$的列向量爲$b$系三個基底分別與$n$系三個基底的夾角餘弦，而行向量爲$n$系三個基底分別與$b$系三個基底的夾角餘弦。
 考慮如何將$b$系下的座標轉換爲$n$系下。假設有向量$V$，其在兩個座標系下的表示爲$\\V=V_{x}^{n}i_{n}+V_{y}^{n}j_{n}+V_{z}^{n}k_{n}=V_{x}^{b}i_{b}+V_{y}^{b}j_{b}+V_{z}^{b}k_{b}$，寫成向量的形式爲：
$\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{n} \end{matrix}\right ]\left [ \begin{matrix} V_{x}^{n}\\ V_{y}^{n}\\ V_{z}^{n} \end{matrix}\right ]=\left [ \begin{matrix} i_{b} & j_{b}& k_{b} \end{matrix}\right ]\left [ \begin{matrix} V_{x}^{b}\\ V_{y}^{b}\\ V_{z}^{b} \end{matrix}\right ]\tag{6}$
將$(5)$式代入上式，可得：
$\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{n} \end{matrix}\right ]\left [ \begin{matrix} V_{x}^{n}\\ V_{y}^{n}\\ V_{z}^{n} \end{matrix}\right ]=\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{n} \end{matrix}\right ]P_{n}^b \left [ \begin{matrix} V_{x}^{b}\\ V_{y}^{b}\\ V_{z}^{b} \end{matrix}\right ]\tag{7}$
上式中，顯然$\left [ \begin{matrix} i_{n} & j_{n}& k_{n} \end{matrix}\right ]$可逆，於是有
$\left [ \begin{matrix} V_{x}^{n}\\ V_{y}^{n}\\ V_{z}^{n} \end{matrix}\right ]=P_{n}^b \left [ \begin{matrix} V_{x}^{b}\\ V_{y}^{b}\\ V_{z}^{b} \end{matrix}\right ]\tag{8}$
觀察上式可以發現$P_{n}^b$不僅爲從$n$繫到$b$的過渡矩陣，也是從$b$繫到$n$的座標變換矩陣，爲體現座標變換將$P_{n}^b$記爲$C_{b}^n$。又因爲$C_{b}^n$由兩座標軸間夾角的餘弦值構成，故又稱方向餘弦矩陣。

3.總結

 本文以旋轉前後兩座標系的標準正交基投影關係切入，將旋轉後座標系的標準正交基用旋轉前座標系的標準正交基表示，從而建立起座標系間的變換關係。然後，根據座標系間基底的變換關係，推導出兩座標系座標的變換公式，同時得到了方向餘弦矩陣。

4.參考文獻

《捷聯慣導算法與組合導航原理》嚴恭敏 P9—P10 2.2.1方向餘弦陣