OI中常見的數學符號

原創

努力的老周

2020-05-06 20:39

整除/同餘理論常見符號

1、整除符號

$x\ |\ y$ 。表示 x 整除 y，即 x 是 y 的因數。

2、取模符號

$x \ mod \ y$ 。表示 x 除以 y 得到的餘數。

3、互質符號

$x \perp y$ 。表示 x 和 y 互質。

4、最大公約數

gcd(x, y)。在無混淆意義的時候，可以寫作 (x, y)。

5、最小公倍數

lcm(x, y)。在無混淆意義的時候，可以寫作 [x, y]。

數論常見符號

1、求和符號

$\sum$ 。表示滿足特定條件的數的和。

2、求積符號

$\prod$ 。表示滿足特定條件的數的積。

其他常見符號

1、階乘符號

。 $n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$ 。特別規定：。

2、向下取整

$\left \lfloor x \right \rfloor$ 。表示小於等於 x 的最大整數。

3、向上取整

$\left \lceil x \right \rceil$ 。表示大於等於 x 的最小整數。

漸進符號

一般用於複雜度表示。

1、大 $\Theta$ 符號

對於給定的一個函數 g(n)， $f(n)=\Theta (g(n))$ ，當且僅當 $\exists c_{1}, c_{2}, n_{0}> 0$ ，使得 $\forall n \geq n_{0}, 0 \leq c_{1}\cdot g(n) \leq f(n) \leq c2 \cdot g(n)$ 。

也就是說，如果函數 $f(n)=\Theta (g(n))$ ，那麼我們能找到兩個正數 $c_{1}, c_{2}$ ，使得 f(n) 被 $c_{1}\cdot g(n)$ 和 $c2 \cdot g(n)$ 夾在中間。

2、大符號

$\Theta$ 符號同時給了我們一個函數的上下界，如果我們只有一個函數的漸近上界的時候，我們使用符號。

對於一個給定的函數 g(n)，我們把它記作。，當切僅當 $\exists c, n_{0}$ ，使得 $\forall n \geq n_{0}, 0 \leq f(n) \leq c \cdot g(n)$ 。

研究時間複雜度時，通常會使用符號，因爲我們關注通常是程序耗時的上界，而不關心其耗時的下界。

3、大 $\Omega$ 符號

我們使用 $\Omega$ 符號來描述一個函數的漸近下屆。

對於一個給定的函數 g(n)，我們把它記作 $\Omega (g(n))$ 。 $f(n)=\Omega (g(n))$ ，當切僅當 $\exists c, n_{0}$ ，使得 $\forall n \geq n_{0}, 0 \leq c \cdot g(n) \leq f(n)$ 。

4、小符號

如果說大符號相當於小於等於號，那麼小符號就相當於小於號。

5、小 $\omega$ 符號

如果說大 $\Omega$ 符號相當於小於等於號，那麼小 $\omega$ 符號就相當於小於號。

常見性質

$f(n)=\Theta (g(n))\Leftrightarrow f(n)=O(g(n))\wedge f(n)=\Omega (g(n))$
$f_{1}(n)+f_{2}(n)=O(max(f_{1}(n), f_{2}(n)))$
$f_{1}(n)\times f_{2}(n)=O(f_{1}(n)\times f_{2}(n))$
$\forall a \neq1, log_{a}n = O(log_{2}n)$

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