prufer序列與Cayley公式(學習筆記）

prufer序列與Cayley公式(學習筆記）

給定$n$個結點有標號的無根樹，與長度爲$n-2$的prufer序列爲一一映射。
又因爲序列的每個數有$n$種選擇，所以$n$個結點有標號無根樹的不同個數有: $n^{n-2}$種。
與此對應：因爲根有$n$種選擇，所以$n$個結點有標號有根樹的不同個數有：$n^{n-1}$種。

推廣：$n$個結點度數依次爲：$d_1,d_2,d_3\dots d_n$的無根樹有：$\dfrac{(n-2)!}{[(d_1-1)!\times(d_2-1)!\dots\times(d_n-1)!]}$ ,其中prufer編碼中的數字$i$恰好出現$d_i-1$次。

證明傳送門