LeetCode 62 比動態規劃更好的做法

今天是LeetCode專題第36篇文章，我們一起來看下LeetCode的62題，Unique Paths。

題意

其實這是一道老掉牙的題目了，我在高中信息競賽的選拔考試上就見過這題。可想而知它有多古老，或者說多經典吧。一般來說能夠流傳幾十年的算法題，一定是經典中的經典。下面我們就來看下它的題意。

這題的題意很簡單，給定一個矩形的迷宮，左上角有一個機器人，右下角是目的地。這個機器人只能向下走或者是向右走，請問這個機器人走到目的地的路徑一共有多少種？

這題很良心地給定了條件，矩形的長和寬都不超過100.

樣例

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right

Input: m = 7, n = 3
Output: 28

解法

在我寫題解的時候，我突然想起來上一次見到它好像是在某個綜藝節目當中。它被作爲一道智力題來考一些明星嘉賓，好像一衆明星裏面，只有關曉彤做了出來。。。

它作爲智力題有一個標準的模板式解法：

對於圖中的C點來說，從起點通往它的路徑數量等於通往A點和B點路徑的和。

這個結論我們很多人都知道，因爲C點只有兩個來源，一個是A點一個是B點。它既可以從A點來，也可以從B點來，所以應該是一個加和的關係。

這當然是沒錯的，但不知道大家從這個過程當中有沒有什麼感悟。C點的上游是A點和B點，也就是說C狀態是由A狀態或者是B狀態轉移到的。這不就是一個動態規劃算法嗎？

我們用dp記錄每一個位置的答案的話，那麼可以很輕鬆地寫出狀態轉移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

我們用代碼把這個方程實現就能解出問題了。

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[0 for _ in range(n+2)] for _ in range(m+2)]
        
        dp[0][1] = 1
        
        for i in range(1, m+1):
            # 特殊處理第一列，因爲第一列只有1種
            dp[i][1] = dp[i-1][1]
            for j in range(2, n+1):
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
                
        return dp[m][n]

one more solution

如果只有上面這一種解法，那麼這道題完全沒有說的必要，也太簡單了。這道題還有另外一種解法，會更加簡單。

在上面的解法當中，我們是把這個問題當成了算法題來解決的，使用動態規劃算法進行建模，適配題目來解決它。但如果我們換個思路，完全可以把它當做數學問題來解。

我們來分析一下問題，機器人要從左上角走到右下角，地圖是沒有缺陷的，所有點都可以到達。由於機器人沒辦法走回頭路，也就是說機器人在通往終點的過程當中走過的路程是確定的。也就是要走n-1條橫邊和m-1條豎邊。

邊的總數和種類都確定了，其實這個問題可以轉化一下。我們把走的橫邊看成是白球，走的豎邊看成是黑球，那麼這道題其實就可以轉化成，我們有n-1個白球，m-1個黑球，現在把它們排成一排，一共有多少種方法？

這個是小學的組合數學問題，我們要從整體的n+m-2個物體當中，選出n-1個，那麼顯然答案就是：$C_{n+m-2}^{n-1}$

不過，雖然我們用一個式子就表達了，但是要求解這個組合數，還是需要通過循環的。我們把它轉化成:

$C_{n+m-2}^{n-1}=\frac{(n+m-2)*(n+m-3)...(m-1)}{(n-1)!}$

接着我們用循環求解即可。

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        ret = 1
        
        for i in range(1, n):
            ret = ret * (n+m-1-i) // i
        return ret

相比於上面的做法更加簡短，雖然兩者看起來都是$O(n)$的算法，好像差別不大。但是每個數的階乘和組合數都是可以預處理的，在頻繁求解的場景下，顯然要比動態規劃算法更快。

結尾

這道題就算是講完了，大家會發現LeetCode過了50題之後，涉及到新的算法明顯變少了。畢竟LeetCode並不是高強度的算法平臺，主打的還是算法入門。這也限制了它的難度無法和codeforces、topcoder這種主打算法競賽的平臺相比。所以很多人刷到一百題左右的時候，就會覺得沒意思。

感覺很多題目大同小異，新鮮感和正反饋都變少了。這個時候就需要我們把問題做精，多去思考和求解最完美的解法。即使是爲了應付面試而刷題，這也是很有必要的。高水平的面試官往往都不會出LeetCode上的原題，都會加一些變化來考察選手，甚至有些大牛會出原創題。光摸清套路是不夠的，我們還需要更加深入的理解。

套用一句電影臺詞作爲結尾：we need to go deeper.

今天的文章就到這裏，原創不易，掃碼關注我，獲取更多精彩文章。