最大流問題：
標號作用：
1）圈內的標號，爲點的代號，如s，t；
2）邊上的標號，如3/0：3爲容量，表示兩個點之間最大流通量；0爲當前實際流通量。
問題：我們想要讓水從s流向t，那麼最大有多少水能流到t呢？
先粗略一看，水要從s到t肯定要經過（1，t），（2，t）這兩條通道；那麼受這兩條管道的限制只能流過3+2=5ml水，但因爲流水量還受前面的管道的限制，所以這兩條管道的實際流水量並不一定等於2+3=5ml；所以我們要求出從s到t的最大流水量，我們就需要求出流過（1，t），（2，t）這兩條通道的水量，即流入t的實際流水量；
求解步驟很簡單：
1）、先在（s，1，t）這條路線流過3ml：
2）、再往（s，2，t）流過2ml：
可見，不能再流更多的水過去了，因此最大流通量爲3+2=5ml；
2、接下來我們嘗試再換個方式計算：
1）、先在（s，1，t）流過2ml；
2）、再（s，1，2，t）流過1ml；
3）、再（s，2，t）流過1ml；
現在的情況是下面這樣的：
可見，現在的情況還沒有達到最大流通量，那我們可以接着這樣做：
4）、走（s，2，1，t）流過1ml；
解釋：但是你會很奇怪，明明（1,2）這個通道已經被使用了啊？但其實我們走的是（2,1）這條通道，那我們怎麼能反着箭頭走呢？其實這就相當於把原來（1,2）方向通道內的水退回去了，退到點（1）處。
下面我們一步步完成（s，2，1，t）流過1ml這個過程：
這1ml水先流過（s，2）到達結點（2），再讓（1,2）這條通道的水退到結點（1）去，往（1，t）走，這個時候由於（1,2）少了1ml水往這走，那麼自然這1ml水也沒有到達（2，t）這個通道，那麼（2，t）當前通道的流通量減爲1，還可以通過1ml，所以結點2的水可以走（2，t）到達t。
可以發現，最後的結果相同，最大流也爲3+2=5；
那麼我們可以總結一下，以上兩個方法其實都是在尋找所有的增廣鏈路，當找不到任何一條增廣鏈路的時候，我們就能求出最大流通量。
所以接下來我們要引入幾個概念：
鏈路：從兩個頂點之間沒有重複邊的路徑。
前向邊：與鏈路方向一致的邊，即你在這條邊上想要的走向與邊的箭頭方向一致。
後向邊：與鏈路方向相反的邊。
增廣鏈路：鏈路中所有前向邊的當前流通量小於這條邊的容量，即處於可以流通的狀態，通道沒有達到飽和；並且所有後向邊的當前流通量大於0，即處於有水流過的狀態。
可能，看了這些概念，你仍然想問那什麼是增廣鏈路呢？什麼是前向邊，後向邊呢？我們重新來過一次找從s到t的路徑的過程；
從這幅圖可以看到，每一條路都沒有被佔用，我們走（s,1,t），（s,2,t），（s,1,2,t）這三條鏈路都能到達t，那麼這三條路就是增廣鏈路了。那用概念怎麼理解呢？（s，1）,（1，t），（s，2），（2，t），（1，2）這些就是當前所有增廣鏈路中的前向邊，（1，s）,（t，1），（2，s），（t，2），（2,1）這些就是後向邊。可見，這三條增廣鏈路的所有邊都是由前向邊構成的，並且前向邊的容量大於實際流通量0，可以流過水，即處於流通狀態。
那麼我們隨機選一條增廣鏈路走下去，我們選擇（s,1,2,t）流過1ml，然後更新這一條增廣鏈路上的流量。
那麼此時的增廣鏈路有哪些變化呢？此時能到達t的增廣鏈路有（s，1，t），（s,2,t），（s，2,1，t）；
（s，1，t）和（s,2,t）中全是前向邊，並且都是可以流通的，因此這兩條肯定是增廣鏈路。你們比較奇怪的是爲什麼（s，2,1，t）是增廣鏈路，我們來分析一下，（s，2,1，t）中（s，2），（1，t）是可以流通的前向邊，（2,1）這條邊與箭頭方向相反，箭頭方向爲（1,2），所以（2,1）在鏈路中是反向邊，並且這條邊實際流通量大於0，這也符合增廣鏈路的定義；（s，2,1，t）這條鏈路就意味着我們可以將（1,2）這個地方的水退回到結點（1）處，讓（1,2）這個方向的水往（1，t）走，而（s，2）流過來的水代替（1,2）這個地方的水到達結點2，補充結點2失去的（1,2）通道的水。
至此，我們已經完全認識到了這幾個概念，下面討論一下實現查找增廣鏈路的算法；
以下面這幅圖爲例：
尋找增廣鏈路求最大流的算法，Ford-Fulkerson算法：
我們這個圖中共有4個頂點（s，1,2，t）；
現在先給點（s）進行標號（0，+），0表示點（s）是出發點，+表示輸入的水流量爲無窮大。
而剩下的點（1,2，t）爲未標號的，如下圖所示。
接下來，我們將點分爲三類：
1）已標號已檢查的：不存在，
2）已標號未檢查的：包括點（s），
3）未標號的：包括點（1,2，t）。
然後我們從已標號未檢查的集合拿到一個點，開始遍歷整個圖：
此時這個點爲（s），對點（s）進行檢查，檢查的過程就是尋找點（s）的鄰接點並加上標號，但這些鄰接點與點（s）之間要滿足一些要求，鄰接點未標號，鄰接點與點（s）之間的邊是可以流通的前向邊（即容量大於實際流通量的前向邊），或者點之間的邊不是零流的後向邊（即實際流通量不爲0的後向邊）；並且，如果符合條件的鄰接點中包含點（t），就說明找到了一條增廣鏈路，結束整個遍歷過程。可見滿足要求的點只有（1）和（2）；我們對點（1）加上標號（s，3），代表從點（s）到點（1）的可流通量爲3；我們再對點（2）加上標號（s，2），代表從點（s）到點（2）的可流通量爲2；
接下來把點（s）從已標號未檢查的集合中轉移到已標號已檢查的集合中，點（1）和點（2）從未標號的集合中轉移到已標號未檢查的集合中；
現在集合中的情況：
1）已標號已檢查的：包括點（s），
2）已標號未檢查的：包括點（1,2），
3）未標號的：包括點（t）。
然後再重複上面的過程，從已標號未檢查的集合拿到一個點，繼續檢查，此刻拿到的點爲（1），對符合條件的鄰接點（t）和（2）進行標號，發現符合條件的鄰接點中包含t，所以遍歷結束，找到了一條增廣鏈路（s，1，t）；
然後更新整條增廣鏈路上的流量：比較這條路上的實際流通量的最小值，這個值就是這條路上的最大流通量。圖中標號（s，3）的這個3就表示路徑（s，1）的實際流通量爲3。所以很明顯這條路做多隻能流通3，所以將0加上3,更新完畢。
這樣就找到了一條增廣鏈路了，然後我們再以這個圖爲基礎尋找下一條，但是需要重新分過類，將所有點還原至未處理過的狀態，但使用了的通道不還原。
接下來，我們將點分爲三類：
1）已標號已檢查的：不存在，
2）已標號未檢查的：包括點（s），
3）未標號的：包括點（1,2，t）。
然後要做的就是從s開始重複檢查的過程了，直至找到一條增廣鏈路。
等到所有增廣鏈路都被找出來後，將每一條增廣鏈路的最大流通量相加就是整個圖的最大流通量了。
最小割問題：割容量最小
對於上面這張圖，我們想把s,t分割開，成爲不連接的兩部分，這個很簡單，只需要斷開（1，t），（2，t）就能成功，也有許多其它辦法，例如：斷開（s，1），（s，2），或者斷開（s，1），（1，t），（2，t）。每割一條邊就會產生損耗，這個損耗就是邊的權值，我們想求出能將s,t割開的邊，並且損耗達到最小，這就是求最小割；
上面這個圖的最小割很明顯就是將（1，t），（2，t）斷開就是得到的最小割。
下面給出用最大流求最小割問題的方法：轉換原理就是最小割的代價等於最大流。
原理：當一個圖被割分成兩個部分時，不再存在S到T的通路，所以割的代價必定大於等於圖的最大流。
下面將這個原理演示一遍：
增廣鏈路無合併的情況：
如果要將s與t斷開成爲兩部分，很明顯，我們可以直接斷開（1，t），（2，t）就能做到，因爲這兩條路是從s通往t的必經之路；但我們也可以按照最大流的思想去做，有兩條增廣鏈路，（s，1，t），（s，2，t）可以通往t，我們只要把所有鏈路堵住就好了，那我們堵哪裏呢？毫無疑問，要想使得損耗最小，肯定是隻要分別堵住兩條鏈路中管道容量最小的邊即可，使得這些邊的權值的和最小，這就讓最小割的代價最小了，而每條增廣鏈路的最大流通量的權值和也是最大流通量。這就說明了最小割的代價是等於最大流通量的，所以割的代價是大於等於最大流通量的。
下面我們再考慮一下鏈路有合併的情況：
按照我們的想法：分別堵住兩條鏈路中管道容量最小的邊，我們堵住（s，1），（s，2），但此時損耗達到了1+4=5，但實際上最小損耗應切割（3，t），最小損耗明顯爲4。但儘管這樣，最小割是等於最大流在這個圖中仍然是正確的；所以，我們應該修改以下找最小割的方法，猜想一下，我們需要切割的應該是飽和邊中的幾條來達到最小割，飽和邊有（s，1），（3，t）；所以我們先嚐試切割邊（s，1），形成新的圖，再從這個新的圖中求最大流b，如果這個圖的最大流與原圖a的最大流差值b-a等於被切割邊（s，1）的容量1，那麼就說明這條邊是屬於最小割集中的一條邊。很明顯b=4, a=4, a-b=0；而邊（s，1）的容量爲1，所以邊（s，1）不屬於最小割集。然後我們繼續判斷飽和邊（3，t），在原圖a上將（3，t）切除，形成新的圖c，很明顯c=0，a=4，a-c=4，符合，所以邊（3，t）屬於最小割集。遍歷集合完畢，所以這幅圖的最小割集爲{ (3,t) }
所以當找到了最大流之後，就能從飽和邊中找出最小割。最小割的值爲最大流。