KMP算法初始化模式串的next數組

在使用KMP算法處理字符串查找問題的過程當中，可以利用模式串本身的對稱性，在移動模式串的時候，儘量多的往後移動，減少無用的查找過程，而模式串本身的對稱性一般是保存在一個next數組裏面的，下面來討論下怎麼初始化next數組的值。

先來看一下下面這個例子：

申明一下：下面說的對稱不是中心對稱，而是中心字符塊對稱，比如不是abccba，而是abcabc這種對稱。

分析：
i=0：模式串爲m，最長前綴子串和後綴子串都爲空，next[0] = 0；
i=1：模式串爲mb，最長前綴子串爲m，最長後綴子串爲b，無對稱塊，next[1] = 0；
i=2，i=3：同理，next[2] = 0，next[3] = 0；
i=4：模式串爲mbwtm，最長前綴子串爲mbwt，最長後綴子串爲bwtm，對稱塊爲m，長度爲1，next[4] = 1;
i=5：模式串爲mbwtmb，最長前綴子串爲mbwtm，最長後綴子串爲bwtmb，對稱塊爲mb，長度爲2，next[5] = 2;
i=6：模式串爲mbwtmbw，最長前綴子串爲mbwtmb，最長後綴子串爲bwtmbw，對稱塊爲mbw，長度爲3，next[6] = 3;
…
i=13：模式串爲mbwtmbwmbwtmbw，最長前綴子串爲mbwtmbwmbwtmb，最長後綴子串爲bwtmbwmbwtmbw，對稱塊爲mbwtmbw，長度爲7，next[13] = 7;
i=14：模式串爲mbwtmbwmbwtmbwt，最長前綴子串爲mbwtmbwmbwtmbw，最長後綴子串爲bwtmbwmbwtmbwt，對稱塊爲mbwt，長度爲4，next[14] = 4;
i=15：模式串爲mbwtmbwmbwtmbwtb，最長前綴子串爲mbwtmbwmbwtmbwt，最長後綴子串爲bwtmbwmbwtmbwtb，無對稱塊，next[15] = 0;

根據上面的例子，可以總結一下下面的規律，後面出現模串的位置用P替代：

1. 當前字符的前一個字符的對稱塊長度爲0（next數組對應位置的值爲0）時，只需要比較當前字符跟模式串的第1個字符P[0]，若相等則當前位置對應的next數組值爲1，否則爲0；
2. 按照規律1，如果當前字符的前1個字符的對稱塊長度爲1，此時只需要比較當前字符跟模式串的第2個字符P[1]，若相等則當前位置對應的next數組值爲2。如果當前字符的前1個字符的對稱塊長度爲2，此時只需要比較當前字符跟模式串的第3個字符P[2]，若相等則當前位置對應的next數組值爲3。例如當前位置i=6時，可以知道i=5時，next[5] = 2，此時只需要比較模式串位置i=6的字符w跟模式串位置i=next[5]=2位置的字符P[2]=w是否相等（前面的兩個字符mb在i=5時已經比較過且相等了），相等話next[6] = next[5] + 1 = 3；
3. 按照規律2，如果一直想等的話，那就可以一直累加，但是總會出現不相等的時候，如果出現了不相等的情況，並不是說完全沒有對稱塊了，只是對稱塊的長度變短了，需要重新計算。

針對上面規律3出現的不相等的時候，怎麼計算此時next數組對應位置的值，我們以上面例子的i=14爲例子來說明：

1. next[13] = 7,表示模式串的i=0到i=6這一串跟i=7到i=13這一串是完全相等的，設置K=7，K表示前一位置的最長對稱塊的長度。
2. i=14時，由於P[14] = t != m = P[7]不相等，所以可以肯定的是i=14位置的next[14]的值肯定比next[13]小，且只能在i=0到i<7這一區間內尋找了.
3. 因爲P[14] != P[7]，所以P[0-6]這一段肯定不是對稱塊了。那麼新的對稱塊是從i=0到i等於多少的位置呢？可以知道P[0-6] == P[7-13]，所以可以先計算P[0-6]的對稱塊長度，即next[K-1]的值。結果是mbw，即P[0-2] == P[4-6]，從P[0-6] == P[7-13]可以得到P[4-6] = P[11-13]，所以[0-2] == P[11-13]，然後比較P[14]是否等於P[3]。
4. 如果相等，則next[14] = next[K-1] + 1 = next[7-1] + 1 = 4。（如果不相等，則重複步驟3和4。假設P[14] = x != t = P[3]，則k = next[k-1] = 3，重複第3步，從P[0-2]裏面尋找最長的對稱塊，此時next的值都爲0，所以此時next[14] = 0）。

下面列一下代碼並配合註釋，幫助理解。

void initNext(const char P[],int next[]) { 
	int i;						//i:模式串下標
    int k;						//k:最大對稱塊長度 
    int pLen = strlen(P);		//pLen：模式串的長度 
    next[0] = 0;					//模式串的第一個字符的對稱塊長度爲0 

	//for循環，從第二個字符開始，依次計算模式串每一個字符對應的next數組值 
    for (i = 1,k = 0; i < pLen ; i++){
    	//遞歸的求出P[0]···P[i]的最大的相同的前後綴長度k 
		while(k > 0 && P[i] != P[k]) {
			//當P[i] != P[k]時，參考上面例子中的第三步，需要循環計算k的值
			k = next[k-1];   
		}       
		//如果相等，那麼最大相同前後綴長度加1（參考上面說的規律2）
       	if (P[i] == P[k]){
 			k++;
		}
		//賦值k到next數組的i位置
		next[i] = k;
	}
}

注意一下，next 數組考慮的是除當前字符外的最長相同對稱快，所以通過上述方法求得的各個位置的最大相同對稱塊數組next之後，只要稍作變形即可：將next數組中的元素整理往後移動一位，且next[0] = -1