优雅高效的多边形对称性判定算法

前言

在计算几何、机器人运动规划、图像轮廓分析中，我们常常需要知道一个平面图形的对称性（包括旋转对称、轴对称和镜像对称）。那么给定一个平面简单多边形，是否存在O(n)的算法，找出其所有的对称轴和旋转对称角度？

答案是肯定的。下面我们一起来看看这一优雅高效的算法吧。

对称问题的巧妙转化

对于对称性求解，一个直接的方法就是逐个顶点依次尝试（对于轴对称，还要尝试边的中点），然后判断图形是否重合，但是这种做法时间复杂度，太过愚蠢。

其实上述逐点尝试比对的过程，有点像字符串匹配问题：在字符串A中寻找字符串S。

假设串B的长度为n,串A的长度为m，我们知道KMP算法可以在O(m+n)的时间复杂度内找到A中所有S的匹配位置。

我们将KMP算法推广一下，它可以用于任何信息串的匹配。只要修改相应的比较函数即可。

将多边形按照某种规则进行编码，得到模式串S，然后通过合理构造匹配串A，使用KMP算法在A中寻找S的匹配，即可求解得到S的对称性。利用KMP思想判断对称性的过程如下：

1. 编码：将多边形按照某种规则进行编码，编码成信息串S；
2. 构造匹配串：根据要判断旋转对称还是轴对称来构造不同的匹配信息串A
3. 匹配：用KMP算法在A中寻找S的匹配位置
4. 解码：找到对称轴/对称角度

下面对此进行详细说明。

旋转对称

                                     

旋转对称就是要求解一个图形的旋转对称角度：上图中，左图的对称角度是360/3=120度，右图是360/5=72度。

我们需要先将多边形的每一个顶点信息编码为二元组(Length, Angle),其中Length为边长、Angle为顶点的内角。

上图中，边长均为l，那么多边形编码为如下数组：

                     

对于任意一个多边形，假设其编码为：

那么构造旋转对称的匹配串如下：

读者可以思考一下：为什么这么构造呢？这么构造，以下三点是成立的：

• 匹配位置对应旋转角度
• 收割匹配位置不为,则是旋转对称图形
• 旋转角度为：首个匹配位置（从1开始）*360/n,n是S的长度

构造出了模式串和匹配串，利用KMP算法寻找匹配即可得到旋转对称角度。

 

轴对称

       

轴对称判定需要找出所有的对称轴。上图中雪花有6条对称轴，而蝴蝶只有1条对称轴。

对于轴对称，每个顶点处的编码二元组与旋转对称一样。但是整个多边形的编码序列则有所不同，如下：

                                                                        

原因如下图：

轴对称后边长和夹角的顺序改变，所以要将编码序列倒序，且其中的为{到的长度; 的夹角}。

匹配串A的编码序列基本不变：.

对于轴对称，其解码规则如下：

• 每个匹配位置对应一个对称轴
• 对称轴的另一个端点在“对面”
• 匹配位置每往后一个，对称轴经过的顶点后移半个（顶点移动半个是中点）

以下图为例，匹配位置为（0，1，2，3，4，5）：

 

红色数字表示顶点的编码顺序，而绿色数字表示解码出的对称轴。

 

算法原理清楚了，相信读者不难写出代码，这里不再赘述。如有需要可以私信本人。