二分：快速幂

问题

给定三个正整数 a、b、m（ a<10⁹，b<10⁶，1<m<10⁹），求 a^b % m 的值

一般写法

为了防止溢出使用long，Java代码，long为64位，等同于 C语言 的 long long

public long binaryPow(long a, long b, long m){
    long ans = 1;
    for(int i = 0; i < b; i++){
        ans = ans * a % m;
    }
    return ans;
}

更进一步问题

给定三个正整数 a、b、m（ a<10⁹，b<10¹⁸，1<m<10⁹），求 a^b % m 的值

b的范围扩大到 10¹⁸，上面的方法肯定不行，O(b)的复杂度难以支持 10¹⁸。

所以使用快速幂的方法

快速幂

基于二分的思想，也叫“二分幂”：

① 如果 b 是奇数，那么 a^b = a * a^b-1

② 如果 b 是偶数，那么 a^b = a^b/2 * a^b/2

递归写法

// 求 a^b%10，递归写法
long binaryPow(long a, long b, long m ){
    if(b == 0) return 1;	// 如果 b 为 0，那么 a^0=1；
    // b 为奇数，转化为b-1
    if(b & 1 == 1)
        return a * binaryPow(a, b-1, m) % m;
    else{	// b 为偶数，转换为 b/2
        long mul = binaryPow(a, b/2, m) % m;
        return mul * mul % m;
    }
}

1. 判断奇数可以使用 b & 1 == 1，也可以 b % 2 == 1

2. b为偶数时，不要（binaryPow(a, b/2, m) % m）* binaryPow(a, b/2, m) % m，因为这样会计算两个递归

3. 细节

   • 如果 a 的初始值有可能大于等于 m，那么需要再进入函数前让其对 m 取模
   • 如果 m 为 1，可以直接再函数外特判返回 0，因为任何正整数对 1 取模一定为 0

迭代写法

如果把 b 写成 二进制，就可以把 a^b 表示为 a 的二次幂的和。

例如：当 b = 13，就是1101，13 = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰，也就表示成 a¹³ = a⁸ + a⁴ + a¹，前一项总是等于后一项的平方（有些位是乘0）

因此具体实现的时候可以这么做：

1. 初始令 ans 等于 1，用来存放累计的结果
2. 判断 b 的二进制末尾是否为 1（即判断 b 是否为奇数，b&1 是否为 1），如果是，令 ans 乘上 a
3. 令 a 平方，并将 b 右移一位（也可理解为将 b 除 2）
4. 只要 b 大于0，就回到第2步

// 求 a^b%10，迭代写法
long binaryPow(long a, long b, long m){
    long ans = 1;
    while(b > 0){
        if(b & 1 == 1){
            ans = ans * a % m;
        }
        a = a * a % m;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

实际中递归写法和迭代写法效率差距不明显，所以使用两种都可

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参考：《算法笔记》胡凡