3D图形数学基础（二）向量

向量运算

1. 向量的模（向量大小）

公式

向量的模一般公式：
$\lvert \overrightharpoon{v} \rvert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+...+v_n^2}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^nv_i^2}$
对于二维和三维向量，公式分别为：
$\lvert \overrightharpoon{v} \rvert=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$
$\lvert \overrightharpoon{v} \rvert=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

几何应用

求两点间的距离：

$a点的座标若为向量，可表示原点到a点的向量；b亦同。则可知a点到b的向量\overrightharpoon{b} - \overrightharpoon{a} ,\lvert\overrightharpoon{b} - \overrightharpoon{a}\rvert则为a点到b点的距离。$
距离公式为：
$Distance(a,b)=\lvert\overrightharpoon{ab}\rvert=\lvert\overrightharpoon{b}-\overrightharpoon{a}\rvert=\sqrt{(b_x-a_x)^2+(b_y-a_y)^2}$

2. 标量与向量的乘法

公式

$k \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ka_1\\ ka_2\\ ...\\ ka_n\\ \end{bmatrix}$

几何解释

若k>0，表示该向量在原来的方向上缩放向量的长度；若k<0，则表示该向量在相反方向上缩放该向量的长度。

3. 单位向量

单位向量是模为1的向量，一般用来表示向量的方向。一个向量除以该向量的模，可以得到该向量的单位向量。
$\overrightharpoon{v}_{norm}=\frac{ \overrightharpoon{v}}{ \lvert\overrightharpoon{v}\rvert}, \overrightharpoon{v}{=}\mathllap{/\,}0$
零向量没有方向，不能被标准化，在数学上不允许，几何上也没有意义。

4. 向量加减法

公式

$\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1+b_1\\ a_2+b_2\\ ...\\ a_n+b_n\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\\ \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_1-b_1\\ a_2-b_2\\ ...\\ a_n-b_n\\ \end{bmatrix}$
向量不能与标量或纬度数不同的向量相加减。

几何解释

$\overrightharpoon{a} + \overrightharpoon{b} 表示为平移向量\overrightharpoon{b}，使\overrightharpoon{b}的尾与向量\overrightharpoon{a}的头顺序相接，然后从\overrightharpoon{a}的尾到\overrightharpoon{b}的头画一个向量。$

$\overrightharpoon{ba} = \overrightharpoon{a} - \overrightharpoon{b}, 表示点b到点a的向量，\lvert \overrightharpoon{a} - \overrightharpoon{b}\vert则表示点a与点b之间的距离大小。$

5. 向量点乘

公式

向量点乘就是对应分量乘积的和，结果是一个标量：
$\overrightharpoon{a} · \overrightharpoon{b}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n\\ \end{bmatrix}· \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\\ \end{bmatrix}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$
点乘与向量间的夹角相关：
$\overrightharpoon{a} · \overrightharpoon{b}=\lvert\overrightharpoon{a} \rvert\lvert \overrightharpoon{b}\rvert\cos{\theta}$

几何应用

求向量夹角
若已知两向量，可以求得它们的夹角：
$\theta=\arccos{\frac{ \overrightharpoon{a}· \overrightharpoon{b}}{ \lvert\overrightharpoon{a}\rvert \lvert\overrightharpoon{b}\rvert}}$
当两向量为单位向量时，向量的模的乘积等于1，则分母为1，夹角为：
$\theta=\arccos{(\overrightharpoon{a}· \overrightharpoon{b})}$
向量的乘积与夹角的关系：

$\overrightharpoon{a}· \overrightharpoon{b}$	$\theta$	角度	$\overrightharpoon{a}和 \overrightharpoon{b}$
>0	$0^o\leqslant\theta<90^o$	锐角	方向大致相同
=0	$\theta=90^o$	垂直	正交
<0	$90^o<\theta\leqslant180^o$	钝角	方向大致相反

若其中一个为零向量，则点乘乘积为0，所以零向量和任意向量都垂直。

6. 向量叉乘

公式

$\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}= \begin{bmatrix} x_1\\ y_1\\ z_1\\ \end{bmatrix}× \begin{bmatrix} x_2\\ y_2\\ z_2\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} y_1z_2-z_1y_2\\ z_1x_2-x_1z_2\\ x_1y_2-y_1x_2\\ \end{bmatrix}$
点乘和叉乘运算优先级一样，且高于加减。
叉乘得到的向量的模等于向量的大小与向量夹角sin值的乘积：
$\lvert\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}\rvert=\lvert\overrightharpoon{a}\rvert\lvert\overrightharpoon{b}\rvert\sin{\theta}$
下面与点乘对比一下，加强记忆：
$\overrightharpoon{a} · \overrightharpoon{b}=\lvert\overrightharpoon{a} \rvert\lvert \overrightharpoon{b}\rvert\cos{\theta}$

几何解释

叉乘得到的向量垂直于原来两向量。

向量叉乘的大小等于以两个向量为两边的平行四边形的面积：

$S=h×\lvert\overrightharpoon{b}\rvert=\lvert\overrightharpoon{a}\rvert×\sin{\theta}×\lvert\overrightharpoon{b}\rvert=\lvert\overrightharpoon{a}\rvert\lvert\overrightharpoon{b}\rvert\sin{\theta}=\lvert\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}\rvert$
向量叉乘垂直于两向量所在平面，那向量叉乘的方向如何呢？
$对于\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}，将\overrightharpoon{a}与\overrightharpoon{b}首尾相接，然后根据顺时针或逆时针方向确定叉乘向量的方向。$

对于左手座标系，在顺时针方向中，叉乘向量指向上（外）；逆时针时，叉乘向量指向下（内）。
对于右手座标系，在顺时针方向中，叉乘向量指向下（内）；逆时针时，叉乘向量指向上（外）。

7. 向量投影

公式

$在给定的两个向量\overrightharpoon{v}和\overrightharpoon{n}，将\overrightharpoon{v}分解为分别平行和垂直\overrightharpoon{n}的两个向量\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}和\overrightharpoon{v_\bot},并满足\overrightharpoon{v}=\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}+\overrightharpoon{v_\bot}。一般称平行分量\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}为\overrightharpoon{v}在\overrightharpoon{n}上的投影。$

几何解释

下面我们推导一下投影向量和垂直分量向量公式：
$\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}} = \frac{\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{n}\rvert}×(\lvert\overrightharpoon{v}\rvert×\cos{\theta})$
$因为\cos{\theta}=\frac{\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{v}\rvert\lvert\overrightharpoon{n}\rvert}，所以:\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$
$\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}=\frac{\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{n}\rvert}×(\lvert\overrightharpoon{v}\rvert×\frac{\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{v}\rvert\lvert\overrightharpoon{n}\rvert}) =\overrightharpoon{n}\frac{\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{n}\rvert^2}$
$如果\overrightharpoon{n}是单位向量，则投影公式简化为:\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$
$\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}=(\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n})\overrightharpoon{n}$
根据投影公式，可以推得垂直分量公式：
$\overrightharpoon{v_\bot}+\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}=\overrightharpoon{v}$
$\overrightharpoon{v_\bot}=\overrightharpoon{v}-\overrightharpoon{v_\text{\textbardbl}}=\overrightharpoon{v}-\overrightharpoon{n}\frac{\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n}}{\lvert\overrightharpoon{n}\rvert^2}$

$如果\overrightharpoon{n}是单位向量，则投影公式简化为:\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space$
$\overrightharpoon{v_\bot}=\overrightharpoon{v}-(\overrightharpoon{v}·\overrightharpoon{n})\overrightharpoon{n}$

8. 其它公式

公式	解释
$k(\overrightharpoon{a}+\overrightharpoon{b})=k\overrightharpoon{a}+k\overrightharpoon{b}$	标量乘法对向量加分的分配率
$\lvert k\overrightharpoon{a}\rvert=\lvert k\rvert\lvert\overrightharpoon{a}\rvert$	向量乘以标量相当于以标量的绝对值对因子缩放向量
$\vert\overrightharpoon{a}\rvert^2+\vert\overrightharpoon{b}\rvert^2=\vert\overrightharpoon{a}+\overrightharpoon{b}\rvert^2$	勾股定理
$\vert\overrightharpoon{a}\rvert+\vert\overrightharpoon{b}\rvert\geqslant\vert\overrightharpoon{a}+\overrightharpoon{b}\rvert$	向量加法的三角形法则
$\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{a}=\overrightharpoon{0}$	任意向量与自身的叉乘等于零向量
$\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}=-(\overrightharpoon{b}×\overrightharpoon{a})$	叉乘逆交换律
$\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}=(-\overrightharpoon{a})×(-\overrightharpoon{b})$	叉乘的操作数同时变负得到相同的结果
$k(\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b})=(k\overrightharpoon{a})×\overrightharpoon{b}=\overrightharpoon{a}×(k\overrightharpoon{b})$	标量乘法对叉乘的结合律
$\overrightharpoon{a}×(\overrightharpoon{b}+\overrightharpoon{c})=\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b}+\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{c}$	叉乘对向量加法的分配率
$\overrightharpoon{a}·(\overrightharpoon{a}×\overrightharpoon{b})=0$	向量与另一向量的叉乘再点乘该向量本身等于零