本篇是聯名訓練的第二篇，主題爲遞歸與循環，如果我們需要重複地多次計算相同的問題，通常可以選擇用遞歸或者循環兩種不同的方法。遞歸是在一個函數的內部調用這個函數自身。而循環則是通過設置計算的初始值及終止條件，在一個範圍內重複運算。
遞歸與循環
循環很常見，就是for、while、do while這樣子，我們平時使用的也較爲頻繁，我們重點關注下遞歸的優缺點：
- 優點：代碼簡潔。基於遞歸實現的代碼比基於循環實現的代碼要簡潔很多，更加容易實現。
- 缺點一：效率較低。遞歸由於是函數調用自身，而函數調用是有時間和空間的消耗的：每一次函數調用，都需要在內存棧中分配空間以保存參數、返回地址及臨時變量，而且往棧裏壓入數據和彈出數據都需要時間。這就不難理解上述的例子中遞歸實現的效率不如循環**【時間】。另外，遞歸中有可能很多計算都是重複的，從而對性能帶來很大的負面影響。遞歸的本質是把一個問題分解成兩個或者多個小問題。如果多個小問題存在相互重疊的部分，那麼就存在重複的計算【空間】**。
- 缺點二：調用棧溢出。遞歸還有可能引起更嚴重的問題：調用棧溢出。前面分析中提到需要爲每一次函數調用在內存棧中分配空間，而每個進程的棧的容量是有限的。當遞歸調用的層級太多時，就會超出棧的容量，從而導致調用棧溢出。
所以在對性能和時間要求不嚴格，以及限制遞歸次數的前提下，使用遞歸比較好，比較代碼簡潔清爽。反之，如果有強要求的時候，可以考慮使用循環。從遞歸的優缺點也可以歸納出遞歸的三大要素：
- 第一要素：明確你這個函數想要幹什麼。先不管函數裏面的代碼什麼，而是要先明白，你這個函數的功能是什麼，要完成什麼樣的一件事。
- 第二要素：尋找遞歸結束條件。我們需要找出當參數爲啥時，遞歸結束，之後直接把結果返回，請注意，這個時候我們必須能根據這個參數的值，能夠直接知道函數的結果是什麼。
- 第三要素：找出函數的等價關係式。我們要不斷縮小參數的範圍，縮小之後，我們可以通過一些輔助的變量或者操作，使原函數的結果不變。
算法訓練
《劍指offer》關於遞歸與循環的算法訓練共有4題：斐波那契數列【難度3】、跳臺階【難度3】、變態跳臺階【難度2】，矩形覆蓋【難度3】。
斐波那契數列
大家都知道斐波那契數列，現在要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項爲0，第1項是1）。n<=39
分析
按照第一篇學習過程中的方法來分析，分爲如下幾個要點：
- 數列爲斐波那契數列，其特點是，某一項的值等於其前兩項的和
- 邊界條件：n<=39
公式如下：
解法
當然了，最直觀的解法當然是直接用遞歸公式去做：
public class Solution {
public int Fibonacci(int n) {
//設置邊界條件
if(n>39||n<0)
return -1;
if(n==0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
if(n>1&&n<=39)
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
return -1;
}
}
但是提交結果是：
那麼該怎麼優化呢？不難看出，其實這裏做了很多重複的計算，例如f(5)實際上是f(3)+f(4)…一直到f(1)+f(0)。如果能寄存中間值，就不用浪費這些性能了。**如果你使用遞歸的時候不進行優化，是有非常非常非常多的子問題被重複計算的。因此，使用遞歸的時候，必要須要考慮有沒有重複計算，如果重複計算了，一定要把計算過的狀態保存起來。
public class Solution {
public int Fibonacci(int n) {
if(n>39||n<0)
return -1;
if(n==0)
return 0;
if(n==1)
return 1;
int result=0;
int first=0;
int second=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
result = first+second;
first=second;
second=result;
}
return result;
}
}
使用循環可以解決重複計算、入棧出棧的時間和空間浪費。
跳臺階
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法（先後次序不同算不同的結果）。
分析
按照第一篇學習過程中的方法來分析，分爲如下幾個要點：
- 實際Demo舉例：如果只有 1 級臺階，那顯然只有一種跳法。如果有2級臺階，那就有兩種跳的方法了：一種是分兩次跳，每次跳1級；另外一種就是一次跳2級。
- 邊界條件：共有n個臺階，n爲1到n之間的正整數
我們把n級臺階時的跳法看成是n的函數，記爲f（n）。當n>2時，第一次跳的時候就有兩種不同的選擇：一是第一次只跳1級，此時跳法數目等於後面剩下的n-1級臺階的跳法數目，即爲f（n-1）；另外一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等於後面剩下的n-2級臺階的跳法數目，即爲f（n-2）。因此n級臺階的不同跳法的總數f（n）=f（n-1）+f（n-2）。分析到這裏，我們不難看出這實際上就是斐波那契數列了。
解法
public class Solution {
public int JumpFloor(int target) {
if(target<1) return -1;
if(target==1) return 1;
else if(target==2) return 2;
else return JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2);
}
}
以及低性能損耗的循環版本。
public class Solution {
public int JumpFloor(int target) {
if(target<1) return -1;
if(target==1) return 1;
else if(target==2) return 2;
else{
int result=0;
int first=1;
int second=2;
for(int i=3;i<=target;i++){
result = first+second;
first=second;
second=result;
}
return result;
}
}
}
變態跳臺階
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級……它也可以跳上n級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
分析
確實有夠變態的，不過按照第一篇學習過程中的方法來分析，分爲如下幾個要點：
- 實際Demo舉例：如果只有 1 級臺階，那顯然只有一種跳法。如果有2級臺階，那就有兩種跳的方法了：一種是分兩次跳，每次跳1級；另外一種就是一次跳2級。如果有3級臺階，那就有f(1)+f(2)+一次跳3級共有4種，如果有4級臺階，那就是
- 邊界條件：共有n個臺階，n爲1到n之間的正整數
我們把n級臺階時的跳法看成是n的函數，記爲f（n）。當n>2時，第一次跳的時候就有兩種不同的選擇：一是第一次只跳1級，此時跳法數目等於後面剩下的n-1級臺階的跳法數目，即爲f（n-1）；另外一種選擇是第一次跳2級，此時跳法數目等於後面剩下的n-2級臺階的跳法數目，即爲f（n-2），最後一種選擇是第一次跳3級，此時跳法數目等於後面剩下的n-3。因此n級臺階的不同跳法的總數歸納爲f（n）=f（n-1）+f（n-2）+f(n-3)…+f(n-n)=f(0)+f(1)+…f(n-1)=f(n-1)+f(n-1)=2*f(n-1)
解法
這個時候
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
if(target<1) return -1;
if(target==1) return 1;
else {
return 2*JumpFloorII(target-1);
}
}
}
以及低性能損耗的循環版本。
public class Solution {
public int JumpFloorII(int target) {
if(target<1) return -1;
if(target==1) return 1;
else {
int result=0;
int last=1;
for(int i=2;i<=target;i++){
result=2*last;
last=result;
}
return result;
}
}
}
矩形覆蓋
我們可以用2X1的小矩形橫着或者豎着去覆蓋更大的矩形。請問用n個2X1的小矩形無重疊地覆蓋一個2Xn的大矩形，總共有多少種方法？比如n=3時，2*3的矩形塊有3種覆蓋方法：
分析
同樣按照之前的方式去分析，不過按照第一篇學習過程中的方法來分析，分爲如下幾個要點：
- 實際Demo舉例：如果只有 1 個矩形，那顯然只有1種方法。如果有2個矩形，那就有2種方法了：一種是兩個都豎着，另外一種就是兩個都橫着。如果有3 個矩形，那就有f(1)+f(2)共3種方法。
- 邊界條件：共有n個矩形，n爲1到n之間的正整數
- 擺放方式：只有兩種，豎着放或者橫着放。
用第一個1×2小矩形去覆蓋大矩形的最左邊時有兩個選擇，豎着放或者橫着放。當豎着放的時候，右邊還剩下2×2的區域，這種情形下的覆蓋方法記爲f（2）。接下來考慮橫着放的情況。當1×2的小矩形橫着放在左上角的時候，左下角必須也橫着放一個1×2的小矩形，而在右邊還還剩下2×1的區域，這種情形下的覆蓋方法記爲f（1）
解法
public class Solution {
public int RectCover(int target) {
if(target<1) return 0;
if(target==1) return 1;
else if(target==2) return 2;
else {
return RectCover(target-1)+RectCover(target-2);
}
}
}
以及低性能損耗的循環版本。
public class Solution {
public int RectCover(int target) {
if(target<1) return 0;
if(target==1) return 1;
else if(target==2) return 2;
else {
int result=0;
int first=1;
int second=2;
for(int i=3;i<=target;i++){
result=first+second;
first=second;
second=result;
}
return result;
}
}
}
思考
說實話遞歸雖然牛逼但還是蠻燒腦的，主要考慮想象能力。估計遞歸在二叉樹上用的比較多吧，不過遞歸這裏也有一些收穫：
- 增強如上一篇所說的理論：構建一個簡單的Demo，因爲有些問題是顯而易見的遞歸，但有些問題不一定看得出來是遞歸，這個時候就需要去歸納，歸納出規律自然而然就能寫出代碼
- 代碼簡潔和性能損耗在遞歸這裏不可兼得啊，一定要依照需求出發，看看目的是什麼，場景是什麼，什麼時候該用遞歸，什麼時候該用循環
- 遞歸感覺有點兒分治的感覺，結果迴歸條件。
多練練抽象思維，還是有好處。