【C++】「一本通 1.3 例 1」「NOIP-2001」数的划分

【来源】

NOIP-2001
一本通题库-1440
LibreOJ-10018
HRBUST-1216
vjudge

注意：HRBUST和其他OJ的题目题意相同，但有多组数据。
本文题面以LibreOJ为准，代码通用。

【题目描述】

将整数 n 分成 k 份，且每份不能为空，问有多少种不同的分法。当 n=7,k=3 时，下面三种分法被认为是相同的：1,1,5; 1,5,1; 5,1,1

【输入格式】

一行两个数 n , k。

【输出格式】

一行一个整数，即不同的分法数。

【样例输入】

7 3

【样例输出】

4

【样例解释】

四种分法为：1,1,5；1,2,4；1,3,3；2,2,3。

【数据范围】

$6≤n≤200, 2≤k≤6$。

【解析1】

深搜剪枝。
求n无序划分成k份的方案数。
在搜索中依次枚举，然后判断。
同时控制好节点的上界和下界，这样就是剪枝。

【代码1】

#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#pragma G++ optimize(3,"Ofast","inline")

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define RI                 register int
#define re(i,a,b)          for(RI i=a; i<=b; i++)
#define ms(i,a)            memset(a,i,sizeof(a))
#define MAX(a,b)           (((a)>(b)) ? (a):(b))
#define MIN(a,b)           (((a)<(b)) ? (a):(b))

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=205;
const int inf=1e9;

int n,m,ans;
int a[10];

void dfs(int x,int y,int z) {
	if(y==1 && x>=z) {
		ans++;
		return;
	} 
	for(int i=(z ? z : 1); i<=x; i++) 
		dfs(x-i,y-1,i);
}

int main() {
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) {
		ans=0;
		dfs(n,m,0);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

【解析2】

动态规划。

显然，$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j]$

• 当i=j时，1
• 当i<j时，0
• 当i>j时，分为两种情况
  • 有1的：方案数为 $f[i-1][j-1]$
  • 没有1的：方案数为 $f[i-j][j]$

所以，状态转移方程为：$f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j]$、

【代码2】

#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#pragma G++ optimize(3,"Ofast","inline")

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define RI                 register int
#define re(i,a,b)          for(RI i=a; i<=b; i++)
#define ms(i,a)            memset(a,i,sizeof(a))
#define MAX(a,b)           (((a)>(b)) ? (a):(b))
#define MIN(a,b)           (((a)<(b)) ? (a):(b))

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=205;
const int inf=1e9;

int n,k;
int f[N][10];

int main() {
	while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF) {
		for(int i=0; i<=n; i++) for(int j=0; j<=MIN(i,k); j++) {
			if(j<2) {
				f[i][j]=1;
				continue;
			}
			f[i][j]=f[i-1][j-1];
			if(i>=j) f[i][j]+=f[i-j][j];
		}
		printf("%d\n",f[n][k]);
	}
	return 0;
}