利用向量判斷線段和圓是否相交

判斷扇形和圓是否相交

面試的時候被問到如何判斷扇形和圓是否相交，當時也是比較懵的，刷leetcode不會碰到這種問題。我大概分了幾個情況進行討論，並且用到了求點到直線的距離公式。面試官後來提示說從幾何的角度考慮，最好不要去用方程求解的角度去想，，，大概想到了向量點乘和叉乘，但是當時沒寫出來。後來在網上看博客大部分也都是去解方程，稍微麻煩一些，現在把自己的思路分享一下，有錯誤歡迎指正。

一般大家首先會考慮到分成扇形邊和弧段部分分別判斷吧，我們先看一下如何判斷線段是否和圓形相交：

線段和圓形是否相交

我們用兩個端點表示線段，用一個點和半徑表示圓

typedef pair<float, float> Point;
Point l1(-1.1,0), l2(5, 0.9), c1(0, 0);
float R;

首先點和圓形的拓撲關係很好計算，根據端點和圓形的關係分成三種情況，即兩個端點都在圓形內，一個端點在圓形內，兩個端點都不在圓形內。第一種情況不相交，第二種情況相交,第三種情況需要進一步討論。
對這三種情況進行判別只需要一個點點距離公式：

float pointDis(Point p1, Point p2)
{
    return sqrt((p1.first - p2.first) * (p1.first - p2.first) + (p1.second - p2.second) * (p1.second - p2.second));
}
bool inCircle(Point p, Point c1, float R)
{
    float dis = pointDis(p, c1);
    if (dis < R)
        return true;
    return false;
}

下面對第三種情況進行進一步的討論：
如果圓心到這個直線的距離小於半徑，且垂足落在線段上，那麼相交，否則不相交。爲了完成這個計算，我們引入向量：

typedef pair<float, float> vector2d;

有了向量能做的事情就多了，不需要用點到直線的距離公式，也不需要對直線用公式建模（需要判斷特殊情況），計算角度也很方便。下面看一下叉乘：

float crossProduct(vector2d v1, vector2d v2)
{
    return (v1.first * v2.second - v1.second * v2.first);
}

二維空間下，叉乘的結果是$|a|*|b|*sin\theta$，$\theta$是$a$和$b$兩個邊的夾角，其實二維空間下叉乘結果是有正負號的（表示沿隱藏的z軸方向還是其反方向），這裏我們不需要用到這個特性，所以可以直接取絕對值。
下面看一下點乘：

float dotProduct(vector2d v1, vector2d v2)
{
    return (v1.first * v2.first + v1.second * v2.second);
}

點乘的結果是$|a|*|b|*cos\theta$，顯然$cos\theta$的正負可以表示一個角是銳角還是鈍角。
好的我們有了向量、點乘和叉乘，接下來思考如何避免對直線建模後再去計算距離，以及如何去判斷角度：

向量表示：

vector2d vecl2_l1(l1.first - l2.first, l1.second - l2.second);
vector2d vecl1_l2(-vecl2_l1.first, -vecl2_l1.second);
vector2d vecc1_l1(l1.first - c1.first, l1.second - c1.second);
vector2d vecc1_l2(l2.first - c1.first, l2.second - c1.second);

叉乘計算距離：

 float dis = abs(crossProduct(vecc1_l1, vecl2_l1) / pointDis(l1, l2));

沒錯，就是這麼簡單。接下來用點乘判斷夾角：

 if (dis > R) return false;
    bool flag = dotProduct(vecl1_l2, vecc1_l2) && dotProduct(vecl2_l1, vecc1_l1);

如果兩個夾角都是銳角，flag爲true,反之flag爲false,全部代碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef pair<float, float> Point;
typedef pair<float, float> vector2d;
// 點距
float pointDis(Point p1, Point p2)
{
    return sqrt((p1.first - p2.first) * (p1.first - p2.first) + (p1.second - p2.second) * (p1.second - p2.second));
}
// ×乘
float crossProduct(vector2d v1, vector2d v2)
{
    return (v1.first * v2.second - v1.second * v2.first);
}
// 點乘
float dotProduct(vector2d v1, vector2d v2)
{
    return (v1.first * v2.first + v1.second * v2.second);
}
//點是否在圓內
bool inCircle(Point p, Point c1, float R)
{
    float dis = pointDis(p, c1);
    if (dis < R)
        return true;
    return false;
}

//線段與圓是否相交
bool judgeCircleAndLine(Point l1, Point l2, Point c1, float R)
{
    // 兩個端點都在圓內'
    if (inCircle(l1, c1, R) && inCircle(l2, c1, R)) return false;
    // 一個端點在圓內
    if (inCircle(l1, c1, R) || inCircle(l2, c1, R)) return true;
    // 兩個點都不在圓內
    vector2d vecl2_l1(l1.first - l2.first, l1.second - l2.second);
    vector2d vecl1_l2(-vecl2_l1.first, -vecl2_l1.second);
    vector2d vecc1_l1(l1.first - c1.first, l1.second - c1.second);
    vector2d vecc1_l2(l2.first - c1.first, l2.second - c1.second);
    float dis = abs(crossProduct(vecc1_l1, vecl2_l1) / pointDis(l1, l2));
    if (dis > R) return false;
    bool flag = dotProduct(vecl1_l2, vecc1_l2) && dotProduct(vecl2_l1, vecc1_l1);
    return flag;
}
int main()
{
    Point l1(-1.1,0), l2(0,1.1), c1(0, 0);
    std::cout <<judgeCircleAndLine(l1,l2,c1,1);
}

暫時寫到這裏，有問題歡迎指正，後邊會繼續些扇形的問題。。