數據統計方法：確定性時間序列的分析法

時間序列分析是一種動態數據處理的統計方法。該方法基於隨機過程理論和數理統計學方法，研究隨機數據序列所遵從的統計變化規律，以用於解決實際問題。通常影響時間序列變化的4個要素如下：

• 長期趨勢(T)：是時間序列在長時期內呈現出來的持續向上或持續向下的變動。
• 季節變動(S)：是時間序列在一年內重複出現的週期性波動。
• 循環波動©：是時間序列呈現出得非固定長度的週期性變動。
• 隨機因素(I)：是時間序列中除去長期趨勢、季節變動和循環波動之後的隨機波動。不規則波動通常總是夾雜在時間序列中，致使時間序列產生一種波浪形或震盪式的變動。

時間序列的分類

時間序列可以分爲平穩序列和非平穩序列。

平穩序列是指基本上不存在長期趨勢的序列，各觀測值基本上在某個固定的水平上波動，或雖有波動，但並不存在某種規律，而其波動可以看成是隨機的。或者說只含有隨機波動的序列稱爲平穩序列。

非平穩序列是指有長期趨勢、季節性和循環波動的複合型序列，其趨勢可以是線性的，也可以是非線性的。

時間序列平穩性判別方法

平穩時間序列有三要求：

1. 存在固定的期望，換句話說，前100個數字串和前1000個數字串他們的期望是一樣的，或者說，統計學上可以容忍爲一樣的。

2. 存在固定的方差。所謂固定，和前面的均值含義一樣。

3. 滯後序列之間的協方差是固定的， 所謂固定含義與前面一樣，方差只與時間間隔有關。

   滿足上述三個條件的，就是我們說的平穩時間序列了。

平穩條件

1. $E(X_t)=μ$ 序列的均值應該是一個常數，而不是隨時間變化的函數。下圖中左圖滿足要求，而右圖的均值是隨時間而變化的。

2. $Var(X_t)=\sigma$，序列的方差爲一個常數，而不隨時間的變化而變化

3. $Cov(X_t,Y_{t+k})=γ_{0,k}$序列協方差的值只與時間間隔$k$有關，與時間$t$無關

時間序列建摸的兩種基本假設

確定性時間序列模型假設：時間序列是由一個確定性過程產生的，這個確定性過程往往可以用時間t的函數$f(t)$,（如$y=cos(2πt)$）來表示，時間序列中的每一個觀測值是由這個確定性過程和隨機因素決定的。

隨機性時間序列模型假設：經濟變量的變化過程是一個隨機過程，時間序列是由該隨機過程產生的一個樣本。因此，時間序列具有隨機性質，可以表示成隨機項的線性組合，即可以用分析隨機過程的方法建立時間序列模型。

分析方法

平穩序列預測

簡單移動平均法

簡單移動平均是對最近$k$期的統計數值作爲觀察值，求出算術平均數作爲下期預測值。設時間序列已有的$t$期觀察值爲$Y_{t-k+1},Y_{t-k+2},...,Y_{t-1},Y_t$，則$t+1$期預測值$F_{t+1}$爲

$F_{t+1}=(Y_{t-k+1}+Y_{t-k+2}+...+Y_{t-1}Y_t)/k$

指數平滑法

通過對過去觀察值加權平均作爲下期預測值，有一次指數平滑法，二次指數平滑法，三次指數平滑法等。

一次指數平滑是將一段時期的預測值與觀察值的線性組合作爲$t+1$期預測值。
$F_{t+1}=\alpha Y_t+(1-\alpha)F_t$

複合型序列預測

複合型序列指的是含有，趨勢，季節，週期和隨機成分的序列。處理這類問題常用方法是分解各個因素，常採用的分解模型是$Y_t=T_t× S_t×I_t$，

• 第1步：確定並分離季節成分。計算季節指數，以確定時間序列中的季節成分。然後將季節成分從時間列中分離出去，即用每一個時間序列觀察值除以相應的季節指數以消除季節性。
• 第2步：建立預測模型並進行預測。對消除了季節成分的時間序列建立適當預測模型，並根據這一模型進行預測。
• 第3步：計算最後的預測值。用預測值乘以相應的季節指數，得到最終的預測值。

總結