均值、中值、高斯、non-local means算法詳解

文章僅爲個人理解，如有不妥之處歡迎指正。

寫幾個常見的圖像去噪濾波器。
1、均值濾波器
均值濾波器是最簡單的圖像平滑濾波器，其3*3的模板爲$\frac{1}{9} \left[ \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right]$模板中心的濾波值是模板內像素點的平均值，過程如下圖，填充幾行由模板大小來決定。如果想濾波輸出與原圖像大小一致，填充是必須的，下文中就不再贅述了。

2、中值濾波器
中值濾波器是對模板內的像素值進行排序，然後選取中值作爲模板中心的濾波值，均值噪聲能有效去除椒鹽噪聲。

3、高斯濾波器
高斯濾波器是一種線性濾波器，能夠有效的抑制噪聲，平滑圖像。其作用原理和均值濾波器類似，都是取濾波器窗口內的像素的均值作爲輸出。其窗口模板的係數和均值濾波器不同，均值濾波器的模板係數都是相同的爲1；而高斯濾波器的模板係數，則隨着距離模板中心的增大而係數減小。所以，高斯濾波器相比於均值濾波器對圖像個模糊程度較小。
高斯模板的係數計算公式爲：$h(\triangle x,\triangle y)=e^{-\frac{\triangle x^2+\triangle y^2}{2\sigma^2}}$其中，$\triangle x,\triangle y$分別時模板內像素點到模板中心的相對距離。
以3*3高斯濾波器爲例，取$\sigma=0.8$，其上式計算得模板係數爲：$\ \left[ \begin{matrix}0.0521 & 0.1139 & 0.0521 \\ 0.1139 & 0.2487 & 0.1139 \\ 0.0521 &0.11391 & 0.0521 \end{matrix} \right]$

需要注意的是，最後歸一化的過程，使用模板左上角的係數的倒數作爲歸一化的係數（左上角的係數值被歸一化爲1），模板中的每個係數都乘以該值（左上角係數的倒數），然後將得到的值取整，就得到了整數型的高斯濾波器模板，就是我們常見的整數型3*3高斯濾波模板：$\frac{1}{16}\left[ \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} \right]$高斯濾波器模板係數與標準差$\sigma$有着很大的關係，當$\sigma$取很小的值時，只有模板中心的值接近於1，其餘的接近於0；當$\sigma$取很大值時，模板係數全接近於1，相當於均值濾波。

上圖可以看到，隨着$\sigma$的增大，圖像去噪效果是明顯了，但同時圖像也更模糊了，這就需要我們在實際應用的時候平衡去噪效果和模糊程度。此外，模板尺寸越大，圖像也會更模糊，去噪效果也會更好。

4、NLM算法
NLM全稱爲non-local means，顧名思義，它是非局部平均算法，上面幾個算法都是利用濾波點周圍幾個像素點進行濾波，NLM對每個濾波點都利用了整張圖像的信息。比如，要對像素點$i$做NLM處理，先遍歷整張圖像，求出$i$與其他像素點的相似度，相似度越大，權重越大，最後再對整張圖像的像素點進行加權平均，就得到$i$的濾波值。該方法充分利用了圖像中的冗餘信息，在去噪的同時能最大程度地保持圖像的細節特徵。
定義：假設$v$是帶噪聲的圖像，$v=\{ v(i),i∈I\}$，$NL(i)$表示對像素點$i$的濾波值，就有：$NL(i)=\sum_{j∈I}w(i,j)v(j)$ $且，0≤w(i,j)≤1，\sum_{j∈I}w(i,j)=1$其中，$v(j)$表示像素點$i$的灰度值，注意$j∈I$，要遍歷整張圖像，$w(i,j)$是$v(j)$的權重，由$i,j$兩像素點之間的相似度來得到。
如果僅僅比較$i,j$像素值來作爲相似度的依據，不能正確反映$i,j$的關係，所以算法提出者利用$N(i),N(j)$的歐式距離來衡量相似度，$N(i),N(j)$分別表示$i,j$領域像素點，鄰域大小可以自己選擇；
進一步就可以得到$w(i,j)=\frac{1}{C}e^{\frac{||N(i)-N(j)||_2}{h^2}}$ $C=\sum_{j∈I}e^{\frac{||N(i)-N(j)||_2}{h^2}}$其中，$||N(i)-N(j)||_2$就是歐式距離，$h$爲濾波器參數，引入C是爲了歸一化。
由上式可以看出，當$i$的鄰域和$j$的鄰域相似度高的時候，$v(j)$的加權係數$w(i,j)$也會比較大，下圖中，明顯可以看出$q1$點、$q2$點的鄰域與$p$點鄰域比較相似，所以$w(p,q1)、w(p,q2)$比較大，而$q3$的鄰域與$p$差別較大，所以$w(q,p3)$就很小。

上面說過，對於每個$i$,濾波值$NL(i)$都需要用到整個的圖像，這樣就導致算法複雜度特別高，運算非常緩慢，所以通常在應用的時候，會選定一個搜索區域，在搜索區域內計算相似度，然後加權平均，而不是遍歷整個圖像了。
上面圖像我選取鄰域大小33，搜索區域77，小於論文原文使用的77鄰域和2121搜索區域，即便如此，處理這幅512*512的圖像也需要兩分鐘。
對於參數$h$的選取，論文原文給出了選取規則，$h=10\sigma$，$\sigma$表示噪聲標準差。但實際應用的時候，我發現$h$的選取並不需要那麼嚴格，只要別選的太大或者太小就行。$h$很大的時候，NLM就接近於均值濾波器了。

5、 改進的NLM算法
針對NLM算法耗時太長的問題，論文Parameter-Free Fast Pixelwise Non-Local Means Denoising 提出了改進算法，在另一位博主文章積分圖像的應用（二）：非局部均值去噪（NL-means）中對論文做了一定的解釋，但是還是挺難懂的，我僅在此補充一些個人理解。在此之前你需要了解積分圖像。
上圖中，左邊是經典NLM算法流程，右邊是改進後的大致流程。
我的理解：經典NLM對一個像素點點濾波完全結束後，纔會進行對下一個像素點的濾波；而改進的NLM不是這樣，它每次求出每個像素點鄰域內的一個權重，而且相對位置（圖中的$(k,l)$）是一樣的，然後遍歷整個鄰域位置，求出剩下權重，這樣就得到了全部權重，在得到全部權重的同時，完成對整個圖像的濾波，在此之前不會有任何像素點完成濾波，這一過程的實現需要用到積分圖像。可以把經典NLM看成“串行”計算，那麼改進NLM就是“並行”計算。
舉個例子，看上圖右上角的小圖，經典NLM需要把鄰域內25個權重都求出來，並且進行加權平均，才能對下一個像素進行濾波；改進的NLM每次求得所有像素點相對位置爲$(k,l)$那一像素值的權重。

上圖是濾波結果圖像，改進之後的NLM與經典NLM效果是一模一樣的，但是耗時卻大大下降了，因爲核心思想是沒變的，只是不同的實現過程。

用語言還是挺難完全說清楚的，以上只是幫助理解，想真正搞清楚還需要看源碼，我把整篇文章的代碼都放在這裏了，可免費下載。