LeetCode-4：尋找兩個正序數組的中位數

一、題目描述

二、解題思路

  題目要求時間複雜度爲$O(log(m + n))$，很明顯需要採用二分法來解決。
  如果我們可以在這兩個有序序列中找到第$K$個數字，那麼我們只要能找到中間的一個或兩個數字，就一定可以得到這道題的解。
  所以問題退化爲尋找兩個有序序列的按序第$K$個數字。
  在尋找中間的數字的過程中，需要區分以下兩個序列長度和爲奇數偶數的區別：

• 如果爲奇數，那麼中間的數字只有一個，那就是第$(len1 + len 2 + 1) / 2$個位置的元素
• 如果是偶數，那麼中間的數字有兩個，分別第是$(len1 + len2 + 1) / 2$和$(len1 + len2) / 2 + 1$個元素
• 其實，奇數時，$(len1 + len 2 + 1) / 2$與$(len1 + len2 + 2) / 2$的值是相等的；那麼就可以得出：
  • 當奇數時，中位數就是按序排列後的第$(len1 + len 2 + 1) / 2$或$(len1 + len 2 + 2) / 2$個元素
  • 當偶數時，中位數就是按序排列後的第$(len1 + len 2 + 1) / 2$或$(len1 + len 2 + 2) / 2$個元素的平均值

  確定了結果所需數字的位置，便可開始根據這個位置在兩個有序數組中找到這個位置的工作，這裏採用一個輔助函數來完成。

• 如果起始位置大於等於數組長度，說明這個數組需要查找的部分已經變空，這個位置一定不可能在該數組裏，那麼直接返回另一個數組的第$K$個位置
• 如果$K == 1$，那麼就直接返回兩個數組待查找部分兩個開頭元素的較小值
• 否則，對$K$進行二分，需要比較兩個數組裏偏移待查起始位置$K / 2$處元素的大小，分別記爲$half1$和$half2$
  • 如果$half1 < half2$，說明第一個數組劃分範圍過大，導致其偏移$K / 2$處的元素過小，需要縮小第一個數組的範圍到更大的部分，調整第一個數組的起始位置到後$K / 2$處
  • 反之，需要調整第二個數組的起始位置到後$K / 2$處
  • 調整的同時，還要縮小$K$的範圍，這裏是把$K$縮小到$K - K / 2$而不是$K / 2$，原因在於如果$K$爲偶數還好辦，如果爲奇數的話，比如說$5$，就會直接變成$K = 2$，但實際上我們知道應該是變成$K = 3$，這樣才滿足二分的定義，否則就過不去測試用例[1, 2]; [3, 4]

三、解題代碼

class Solution {
private:
    int findKth(vector<int>& num1, int start1, vector<int>& num2, int start2, int k){
        if(start1 >= num1.size())   return num2[start2 + k - 1];
        if(start2 >= num2.size())   return num1[start1 + k - 1];
        if(k == 1)  return min(num1[start1], num2[start2]);
        int half1 = (start1 + k / 2 - 1) < num1.size() ? num1[start1 + k / 2 - 1] : INT_MAX;
        int half2 = (start2 + k / 2 - 1) < num2.size() ? num2[start2 + k / 2 - 1] : INT_MAX;
        return half1 < half2 ? findKth(num1, start1 + k / 2, num2, start2, k - k / 2) : findKth(num1, start1, num2, start2 + k / 2, k - k / 2);
    }
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& num1, vector<int>& num2) {
        int len1 = num1.size();
        int len2 = num2.size();
        int left = (len1 + len2 + 1) / 2;
        int right = (len1 + len2 + 2) / 2;
        return (findKth(num1, 0, num2, 0, left) + findKth(num1, 0, num2, 0, right)) / 2.0;
    }
};

四、運行結果