LeetCode-4：寻找两个正序数组的中位数

一、题目描述

二、解题思路

  题目要求时间复杂度为$O(log(m + n))$，很明显需要采用二分法来解决。
  如果我们可以在这两个有序序列中找到第$K$个数字，那么我们只要能找到中间的一个或两个数字，就一定可以得到这道题的解。
  所以问题退化为寻找两个有序序列的按序第$K$个数字。
  在寻找中间的数字的过程中，需要区分以下两个序列长度和为奇数偶数的区别：

• 如果为奇数，那么中间的数字只有一个，那就是第$(len1 + len 2 + 1) / 2$个位置的元素
• 如果是偶数，那么中间的数字有两个，分别第是$(len1 + len2 + 1) / 2$和$(len1 + len2) / 2 + 1$个元素
• 其实，奇数时，$(len1 + len 2 + 1) / 2$与$(len1 + len2 + 2) / 2$的值是相等的；那么就可以得出：
  • 当奇数时，中位数就是按序排列后的第$(len1 + len 2 + 1) / 2$或$(len1 + len 2 + 2) / 2$个元素
  • 当偶数时，中位数就是按序排列后的第$(len1 + len 2 + 1) / 2$或$(len1 + len 2 + 2) / 2$个元素的平均值

  确定了结果所需数字的位置，便可开始根据这个位置在两个有序数组中找到这个位置的工作，这里采用一个辅助函数来完成。

• 如果起始位置大于等于数组长度，说明这个数组需要查找的部分已经变空，这个位置一定不可能在该数组里，那么直接返回另一个数组的第$K$个位置
• 如果$K == 1$，那么就直接返回两个数组待查找部分两个开头元素的较小值
• 否则，对$K$进行二分，需要比较两个数组里偏移待查起始位置$K / 2$处元素的大小，分别记为$half1$和$half2$
  • 如果$half1 < half2$，说明第一个数组划分范围过大，导致其偏移$K / 2$处的元素过小，需要缩小第一个数组的范围到更大的部分，调整第一个数组的起始位置到后$K / 2$处
  • 反之，需要调整第二个数组的起始位置到后$K / 2$处
  • 调整的同时，还要缩小$K$的范围，这里是把$K$缩小到$K - K / 2$而不是$K / 2$，原因在于如果$K$为偶数还好办，如果为奇数的话，比如说$5$，就会直接变成$K = 2$，但实际上我们知道应该是变成$K = 3$，这样才满足二分的定义，否则就过不去测试用例[1, 2]; [3, 4]

三、解题代码

class Solution {
private:
    int findKth(vector<int>& num1, int start1, vector<int>& num2, int start2, int k){
        if(start1 >= num1.size())   return num2[start2 + k - 1];
        if(start2 >= num2.size())   return num1[start1 + k - 1];
        if(k == 1)  return min(num1[start1], num2[start2]);
        int half1 = (start1 + k / 2 - 1) < num1.size() ? num1[start1 + k / 2 - 1] : INT_MAX;
        int half2 = (start2 + k / 2 - 1) < num2.size() ? num2[start2 + k / 2 - 1] : INT_MAX;
        return half1 < half2 ? findKth(num1, start1 + k / 2, num2, start2, k - k / 2) : findKth(num1, start1, num2, start2 + k / 2, k - k / 2);
    }
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& num1, vector<int>& num2) {
        int len1 = num1.size();
        int len2 = num2.size();
        int left = (len1 + len2 + 1) / 2;
        int right = (len1 + len2 + 2) / 2;
        return (findKth(num1, 0, num2, 0, left) + findKth(num1, 0, num2, 0, right)) / 2.0;
    }
};

四、运行结果