本文主要講解求單源最短路徑的Bellman－Ford算法。
Bellman－Ford算法
Bellman－Ford算法能夠在一般情況下，解決單源最短路徑問題。允許圖中出現權爲負數的邊。該算法還會返回一個布爾值。如果布爾值爲false，表示途中存在從源點可達的權爲負的迴路。
首先介紹一下鬆弛計算。如下圖：
<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /><?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
鬆弛計算之前，點B的值是8，但是點A的值加上邊上的權重2，得到5，比點B的值（8）小，所以，點B的值減小爲5。這個過程的意義是，找到了一條通向B點更短的路線，且該路線是先經過點A，然後通過權重爲2的邊，到達點B。
當然，如果 出現一下情況
則不會修改點B的值，因爲3＋4>6。
Bellman－Ford算法可以大致分爲三個部分
第一，初始化所有點。每一個點保存一個值，表示從原點到達這個點的距離，將原點的值設爲0，其它的點的值設爲無窮大（表示不可達）。
第二，進行循環，循環下標爲從1到n－1（n等於圖中點的個數）。在循環內部，遍歷所有的邊，進行鬆弛計算。
第三，遍歷途中所有的邊（edge（u，v）），判斷是否存在這樣情況：
d（v） > d (u) + w(u,v)
則返回false，表示途中存在從源點可達的權爲負的迴路。
之所以需要第三部分的原因，是因爲，如果存在從源點可達的權爲負的迴路。則 應爲無法收斂而導致不能求出最短路徑。
考慮如下的圖：
經過第一次遍歷後，點B的值變爲5，點C的值變爲8，這時，注意權重爲－10的邊，這條邊的存在，導致點A的值變爲－2。（8＋ －10＝－2）
第二次遍歷後，點B的值變爲3，點C變爲6，點A變爲－4。正是因爲有一條負邊在迴路中，導致每次遍歷後，各個點的值不斷變小。
在回過來看一下bellman－ford算法的第三部分，遍歷所有邊，檢查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因爲第二部分循環的次數是定長的，所以如果存在無法收斂的情況，則肯定能夠在第三部分中檢查出來。比如
此時，點A的值爲－2，點B的值爲5，邊AB的權重爲5，5 > -2 + 5. 檢查出來這條邊沒有收斂。
所以，Bellman－Ford算法可以解決圖中有權爲負數的邊的單源最短路徑問。