hdu3709 Balanced Number（数位DP）

题目大意：定义一个平衡数为某个数选定其中一位为支点之后，两边的每一位乘上力矩之后的和相等，问区间【a,b】里有多少个平衡数；

思路：看样子就是个数位DP。。orz

首先，如果能证明出对于每个数来说，如果它是一个平衡数，那这个数只能有一个支点能使得它能是一个平衡数，即对于每个数来说，支点的解最多只有一个（0个的时候表示它无论如何都不能是一个平衡数）；
如果我们能证明出这个优美的性质，那么就可以通过枚举支点所在位来确定以当前位为支点的时候，长度为len的解的个数；

下证对于每个数来说最多只有一个支点：
假设每一个数位上的数字为a[i]，一共有n位，支点的位置为p，力矩长度为i，则一个数是平衡数时有下列等式；

然后就是往下推了

这样整理后发现左边是a[i]*i的形式，右边是a[i]*p的形式，都少了支点的那一项（a[p]*p），其实就是下面这样

即若一个数为平衡数时，它满足下面这个式子：

假设这个式子存在另一个解q，即存在一个q！=p使得

那么就有：

整理一下会变成

又因为a[i]是大于等于0的，所以要想这个式子成立，要么n位全是0，但显然不能有前导0，全是0只有n==1且a[1]==1的时候，所以只能是p-q==0，即p==q，故支点不可能存在两个解，然后就可以放心枚举每一个支点了；
具体代码跟普通的数位DP差别不大（把支点前的位乘力矩长加进去，支点后的位乘力矩减掉）；
因为在枚举支点的时候，每一次枚举都会出现00,000,0000这些情况，在数位DP的时候会它当成合法情况，所以要减去这些实际上不合法的情况。

如有错误请斧正。。orz

代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pp;

LL dig[22];
LL dp[22][22][4000];

int getdig(LL n)
{
    int cnt=0;
    while(n>0)
    {
        dig[++cnt]=n%10;
        n/=10;
    }
    return cnt;
}

LL dfs(int len,LL pr,LL diot,bool limit)
{
    if(len==0)
    {
        return pr==0;
    }
    if(pr<0)
    {
        return 0;
    }
    if(!limit&&dp[len][diot][pr]!=-1)
    {
        return dp[len][diot][pr];
    }
    LL ans=0;
    LL tot=limit?dig[len]:9;
    for(int i=0 ; i<=tot ; i++)
    {
        LL t=pr+i*(len-diot);
        ans+=dfs(len-1,t,diot,limit&&i==tot);
    }
    if(!limit)
    {
        dp[len][diot][pr]=ans;
    }
    return ans;
}

LL work(LL n)
{
    if(n<0)
        return 0;
    int len=getdig(n);
    LL res=0;
    for(int i=1 ; i<=len ; i++)
    {
        res+=dfs(len,0,i,true);
    }
    return res-(len-1);
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    while(T--)
    {
        LL n,m;
        scanf("%lld %lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",work(m)-work(n-1));
    }
    return 0;
}