Codeforces-3D Least Cost Bracket Sequence

首先需要明確的是括號序列合法的條件：

如果令左括號爲1，右括號爲-1， $w_{i}$ 爲這個1 -1序列到第i個位置的前綴和，那麼必須保證對於每一個i， $w_{i}$ 的值都是非負的，且 $w_{n}=0$

這道題首先想到的是dp的做法。

表示考慮到第i個位置左括號與右括號差爲0的情況。轉移也是非常簡單的。但時間空間似乎都是不太行的。因爲dp狀態跑不滿所以僥倖心理嘗試了一下，失敗。評測結果爲mle 31，正確性應該是有保障的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pq priority_queue
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define mod 998244353
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<'\n'

int lowbit(int x) {return x&(-x);}

const int maxn=4e5+10;
const long long INF=1e11+19;

string s;
int cnt=0;
int l[maxn],r[maxn];
int n;
map <int,ll> f[maxn];
map <int,int> ans[maxn];
ll a[maxn],b[maxn];

long long getf(int x,int y) {
	if (y<0||y>r[x]) return INF;
	if (f[x].find(y)!=f[x].end()) return f[x][y];
	if (x==0) {
		if (y==0) return f[x][y]=0;
		return f[x][y]=INF;
	}
	f[x][y]=INF;
	if (s[x]=='(') f[x][y]=getf(x-1,y-1);
	else if (s[x]==')') f[x][y]=getf(x-1,y+1);
	else {
		if (getf(x-1,y-1)+a[x]<f[x][y]) {
			f[x][y]=getf(x-1,y-1)+a[x];
			ans[x][y]=0;
		}
		if (getf(x-1,y+1)+b[x]<f[x][y]) {
			f[x][y]=getf(x-1,y+1)+b[x];
			ans[x][y]=1;
		}
	}
	return f[x][y];
}

char ss[maxn];
int cur=0;

void trace(int x,int y) {
	if (x==0) return;
	if (s[x]!='?') {
		if (s[x]=='(') trace(x-1,y-1);
		else trace(x-1,y+1);
		cout<<s[x];
	}
	else if (ans[x][y]==0) {
		trace(x-1,y-1);
		cout<<'(';
	}
	else {
		trace(x-1,y+1);
		cout<<')';
	}
	
}

int main(){
	cin>>s;
	int n=s.size();
	s=" "+s;
	r[0]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		if (s[i]=='(') r[i]=r[i-1]+1;
		else if (s[i]==')') r[i]=r[i-1]-1;
		else {
			r[i]=r[i-1]+1;
			scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
		}
	}
	cout<<getf(n,0)<<endl;
	trace(n,0);
	return 0;
}

這道題的正解是貪心。我們可以把所有問號先全部改爲右括號。接下來我們要做的就是遵從某些規則將問號處的右括號選擇性地改成左括號。

具體做法是從左向右掃描，每次進行以下操作：

如果該位置原來是問號，我們就將該位置上a[i]-b[i]的值連同位置一起扔到優先隊列裏
如果改動後該位置是左括號，cur++，反之cur--
如果cur<0，即到當前位置似乎出現非法情況，那麼取出優先隊列（小的排在前面）隊首的位置，將該位置修改成左括號，cu+=2

幾點說明：

先全部改成右括號意在使每一個位置的 $w_{i}$ 儘可能小，防止左括號多於右括號的情況出現（已知的左括號數量已超過序列長度一半另當別論）。每次在出現非法情況非改不可時在進行修改也是這個道理。
每一次修改只會使w值變大，不會使前面的位置非法。

實現還是比較容易的：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define ll long long
#define pq priority_queue
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define mod 998244353
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<'\n'

int lowbit(int x) {return x&(-x);}

const int maxn=4e5+10;
string s;
int n;
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
int a[maxn],b[maxn];
bool c[maxn];
ll ans=0ll;

int main(){
	memset(c,false,sizeof(c));
	cin>>s;
	n=s.size();
	int cnt=0;
	for (int i=0;i<n;i++) {
		if (s[i]=='?') {
			c[i]=true;
			scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
			s[i]=')';
			ans+=(ll)b[i];
		}
	}
	for (int i=0;i<n;i++) {
		if (c[i]) q.push(mp(a[i]-b[i],i));
		if (s[i]=='(') cnt++;
		else cnt--;
		if (cnt<0) {
			cnt+=2;
			if (q.empty()) {
				puts("-1");
				return 0;
			}
			int x=q.top().fi,pos=q.top().se;
			q.pop();
			s[pos]='(';
			ans+=(ll)x;
		}
	}
	if (cnt!=0) puts("-1");
	else cout<<ans<<endl<<s<<endl;
	return 0;
}

還有一種線段樹的做法，寫起來顯然就是比較麻煩的了。

對於固定的左括號,a[i]=0,b[i]=INF;對於固定的右括號,a[i]=INF,b[i]=0.同樣處理出a[i]-b[i]，排序
先將序列變爲左右括號數量合法且花費最小的序列，那麼接下來的任務就是用盡量少的花費將序列改爲合法
每次找出最靠左的非法位置，將其左邊的一個右括號改爲左括號。爲保證數量合法，同樣也需要將其右邊的一個左括號改爲右括號。因爲我們需要花費最小，所以左邊選擇a[i]-b[i]最小的位置，右邊選擇a[i]-b[i]最大的位置，更新序列。這一步中的單點修改和區間查詢可以利用線段樹或樹狀數組實現，具體見代碼（線段樹解法）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define LL long long
#define pq priority_queue
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define mod 998244353
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<'\n'

const LL INF=1e11+19;
const int maxn=5e4+10;
int lowbit(int x) {return x&(-x);}

char s[maxn];
int n;
LL a[maxn],b[maxn],d[maxn];
int ans[maxn];
pair<LL,int> dd[maxn];

struct Node{
	int s_delta;//總的1 -1和 
	int min_delta; //從字符串最左端到該區間內點最小的1 -1和 
	int max_value; //該區間內爲左括號且d值最大的位置 
	int min_value; //該區間內爲右括號且d值最小的位置 
} tree[maxn*4];

void build (Node &node,int key) {
	node.s_delta=ans[key];
	node.min_delta=min(0,ans[key]);
	node.min_value=(ans[key]<0)?key:-1;
	node.max_value=(ans[key]>0)?key:-1;
}

int MIN(int x,int y) {
	if (x<0) return y;
	if (y<0) return x;
	return (d[x]<d[y])?x:y;
}

int MAX(int x,int y) {
	if (x<0) return y;
	if (y<0) return x;
	return (d[x]>d[y])?x:y;
}

Node unite (Node x, Node y) {
	Node cur;
	cur.s_delta=x.s_delta+y.s_delta;
	cur.min_delta=min(x.min_delta,x.s_delta+y.min_delta);
	cur.min_value=MIN(x.min_value,y.min_value);
	cur.max_value=MAX(x.max_value,y.max_value);
	return cur;
}

int findBad(int node,int l,int r,int cur) {
	if (cur+tree[node].min_delta>=0) return -1;
	if (l==r) return l;
	int mid=(l+r)/2;
	int p=findBad(node*2,l,mid,cur);
	if (p!=-1) return p;
	return findBad(node*2+1,mid+1,r,cur+tree[node*2].s_delta);
}

int findMax(int node,int l,int r,int ll,int rr) {
	if (rr<l||ll>r) return -1;
	if (l>=ll&&r<=rr) return tree[node].max_value;
	int mid=(l+r)/2;
	return MAX(findMax(node*2,l,mid,ll,rr),findMax(node*2+1,mid+1,r,ll,rr));
}

int findMin(int node,int l,int r,int ll,int rr) {
	if (rr<l||ll>r) return -1;
	if (l>=ll&&r<=rr) return tree[node].min_value;
	int mid=(l+r)/2;
	return MIN(findMin(node*2,l,mid,ll,rr),findMin(node*2+1,mid+1,r,ll,rr));
}

void update(int node,int l,int r,int key) {
	if (l==r) {
		build(tree[node],key);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if (key>mid) update(node*2+1,mid+1,r,key);
	else update(node*2,l,mid,key);
	tree[node]=unite(tree[node*2],tree[node*2+1]);
	return;
}

void init(int cur,int l,int r) {
	if (l==r) {
		build(tree[cur],l);
		return;
	}
	int mid=(l+r)/2;
	init(cur*2,l,mid);
	init(cur*2+1,mid+1,r);
	tree[cur]=unite(tree[cur*2],tree[cur*2+1]);
	return;
}

void solve(){
	sort(dd,dd+n);
	for (int i=0;i<n;i++) ans[i]=-1;
	for (int i=0;i<n/2;i++) ans[dd[i].se]=1;
	init(1,0,n-1);
	while (1) {
		int p=findBad(1,0,n-1,0);
		if (p==-1) return;
		int x=findMin(1,0,n-1,0,p);
		if (x<0) return;
		ans[x]=1;
		update(1,0,n-1,x);
		int y=findMax(1,0,n-1,p+1,n-1);
		if (y<0) return;
		ans[y]=-1;
		update(1,0,n-1,y);
	}
}

int main(){
	scanf("%s",s);
	n=strlen(s);
	for (int i=0;i<n;i++) {
		if (s[i]=='(') a[i]=0,b[i]=INF;
		else if (s[i]==')') a[i]=INF,b[i]=0;
		else scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
		d[i]=a[i]-b[i];
		dd[i]=mp(d[i],i);
	}
	solve();
	LL res=0ll;
	for (int i=0;i<n;i++) {
		LL delta;
		if (ans[i]==1) s[i]='(',delta=a[i];
		else s[i]=')',delta=b[i];
		if (delta==INF) {
			puts("-1");return 0; 
		}
		res+=delta;
	}
	cout<<res<<endl;
	for (int i=0;i<n;i++) {
		if (ans[i]==1) cout<<"(";
		else cout<<")";
	}
	return 0;
}

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