一文讀懂濾波器的線性相位，全通濾波器，羣延遲

數字信號處理最常見的面試題，請簡述FIR和IIR的區別。其中的一個區別是FIR可以方便地實現線性相位。那這個線性相位指的是什麼呢？本篇博客通過兩個例子，延遲和全通濾波器，來解釋這些概念。
先說結論：線性相位能保證信號中各頻率成分的相對相位關係不改變。
通俗解釋：信號經過線性相位濾波器後，各個頻率分量的延時時間是一樣的。

1. 延遲

舉一個最簡單的FIR的例子，延遲。假設16kHz的採樣頻率，一個採樣週期的延遲，可以用FIR來表示。利用Matlab來觀看這個濾波器的頻率響應，代碼如下。採樣頻率爲Fs = 16kHz， 採樣週期爲Ts，Ts = 1/Fs。其中num是傳遞函數的分子，den是傳遞函數的分母。分母只有 a0 = 1， 代表是一個FIR濾波器。分子b0 = 0， b1 = 1, 代表是一個採樣點的延遲。

num = [0,1]
den = [1,0]
fvtool(num,den)

下圖中，藍色的實線表示的幅頻響應，爲0dB。紅色實線表示相頻響應，主要看相頻響應。圖中對1k，2k，4kHz頻點的橫縱座標有截圖，16kHz採樣率下，1kHz的正弦信號一個完整的週期（這裏說的週期指的是$2\pi$）內會得到16個採樣值。一個採樣週期的延遲，帶來的相位變化是$-2\pi/16=-\pi/8=-22.5\degree$。而2kHz信號一個完整週期（$2\pi$）內會得到8個採樣值，那麼一個採樣週期的延遲帶來的相位變化是$-2\pi/8=-\pi/4=-45\degree$，同理，對4kHz的信號，相位變化是$-2\pi/4=-\pi/2=-90\degree$。下圖中也可以得到驗證。

這個濾波器對整個信號只產生了延遲一個採樣點的效果，信號的各個頻率成分之間的相位關係沒有改變。從這個例子可以很清楚地看到，線性相位指的是濾波器對每個頻點的相頻響應是一個線性關係。如下圖所示，上面的圖表示2kHz信號和4kHz信號，中間的圖表示兩者之和，下面的圖表示過了一個採樣週期延遲的FIR濾波器。中間的圖和下面的圖，這兩個頻率成分的信號之間相位關係沒有改變。

2. 全通濾波器

全通濾波器，幅頻響應爲0db，但是可以改變個頻率成分之間的相位關係。一階全通濾波器有以下公式。
$A(z) =\frac{c + z^{-1}}{1 + cz^{-1}}$
$c=\frac{tan(\pi*fc/fs) - 1}{tan(\pi*fc/fs) + 1}$其中fc爲截止頻率，fs爲採樣頻率。
設計一個fc = 2kHz，其幅頻相頻響應如下圖所示。2kHz處幅頻響應爲$-\pi/2$，4kHz處幅頻響應爲$-3\pi/4$。很明顯，這裏已經不再是線性相位了。

fs = 16e3;
fc = 2e3;
c = (tan(pi*fc/fs) - 1)/(tan(pi*fc/fs) + 1)
num = [c,1];
den = [1,c];
fvtool(num,den)

我們再將2kHz和4kHz的和通過這個全通濾波器，看看輸出是怎麼樣的。如下圖所示，經過全通濾波器後，2kHz和4kHz信號的相對相位已經改變了。2kHz延遲了$\pi/2$，而4kHz延遲了$3\pi/4$。最下面那幅圖直接在輸入信號上修改初始相位，也可以得到同樣的效果。這裏可以看出來，兩個頻率分量的相對相位關係發生了改變，兩者之和的波形也發生了變化。

3.相位延遲和羣延遲

以上兩個例子可以看出，延遲和全通濾波器都能實現0dB的幅頻響應，但相頻響應區別很大。相位延遲和羣延遲，就是用來描述這種不同。
對於線性時不變系統，輸入爲$x(t) = e^{iwt}$
輸出爲$y(t) = H(iw)e^{iwt} = (|H(iw)|e^{i\phi(w)})e^{iwt} = |H(iw)|e^{i(\phi(w)+wt)}$
其中線性系統的相頻響應爲
$\phi(w) = arg\{H(iw)\}$
羣延遲和相位延遲可以表示爲
$\tau_g=-\frac{d\phi(w)}{dw}$
$\tau_\phi=-\frac{\phi(w)}{w}$
這裏先解釋羣延遲，羣延遲是相位對頻率的微分。若其是非常數，信號的各頻率成分的相對相位關係將發生變化，從而產生相位失真。上面兩個例子的羣延遲分別如下圖所示，縱座標的單位爲採樣週期。

延遲（FIR）的羣延遲就是1個採樣週期的延遲，對於每一個頻率分量都是一樣的。

全通濾波器（IIR）的羣延遲會隨頻率變化，低頻部分的延遲時間大於高頻部分。信號經過這個系統之後，信號各頻率成分的相對相位關係就改變了。

4. 實際生活中的例子

就音樂廳來說，如果把舞臺上音樂家的歌唱聲或樂器發出的聲音作爲輸入，聽衆聽到的上述聲音作爲輸出的話，那麼音樂廳可以看成輸入輸出之間的一個系統。最理想的情況是，輸出與輸入之間只有一個類似於延時的線性相位濾波器，也即是舞臺上唱什麼歌，聽衆就能聽到什麼歌，只是時間上稍微有滯後。

如果音樂廳這個系統不是線性相位的，會出現什麼情況呢？音樂是由很多不同的頻率成分構成的。這時候音樂中有些頻率成分很快就從舞臺上傳過來了，有些頻率成分則要過一陣才傳過來。這樣組合起來的音樂，先不論是否悅耳，至少和舞臺上的已經不一樣了。這時候也就意味着坐在不同位置的聽衆，聽到的將是不同的音樂。這是人們不希望看到的。

這種情況下，必須要求線性相位的響應。該舉例轉載於博客《線性相位重要性的理解》。下面這篇博客介紹了線性濾波器在ECG信號中的使用，也是通俗易懂，可以參考。《爲什麼設計的濾波器一定要用線性相位》

總結：

1. 線性相位能保證信號中各頻率成分的相對相位關係不改變。通俗解釋是：信號經過濾波器後，各個頻率分量的延時時間是一樣的。
2. 延遲（FIR）和全通濾波器（IIR）都能對信號實現0dB的幅頻響應。但是FIR能實現線性相位，而且羣延遲爲一個常數。
3. 要讓信號傳輸不失真，這個傳輸系統必須具有常數幅度增益和線性相位延遲。線性時不變系統只能保證常數倍的幅度增益，並不能保證線性相位延遲。
4. 音樂廳的衝激響應必須要求線性相位。