波束形成算法學習筆記

麥克風陣列算法有兩大類，一類是波束形成算法，另一類是盲源分離算法，兩者互有優劣，先記錄波束形成算法的筆記。本篇博客先說波束形成的優缺點，波束形成的基礎知識，然後分別介紹固定波束形成（fixed beamforming, data-independent) 和自適應波束形成（adaptive beamforming, data-dependent）。

波束形成的優缺點（Pros & Cons）

優點

• 波束形成的優點是可以利用空間信息做空間濾波（Spatial filtering）。
  以單麥克風降噪爲例。單麥克風接收到的信號，無法分辨來波方向。對於噪聲的抑制主要抑制平穩噪聲。因爲語音信號是非平穩的，如何準確區分非平穩的噪聲和語音比較困難。麥克風陣列至少有兩顆麥克風，能夠一定程度的區分來波方向。對於非期望方向的干擾語音或者其他非平穩噪聲可以線性地衰減。

缺點

• 波束形成算法的性能依賴目標信號的VAD信息。
  以GSC結構爲例，MC的自適應噪聲消除，其濾波係數更新依賴於這個VAD信息。只有當目標信號（有效語音）不存在時，才需要更新濾波器係數。否則會將有效語音消除掉。
• 波束形成算法的性能依賴目標信號的DOA信息。
  惡劣的聲場環境，強噪聲和長混響都會影響DOA算法的準確性。準確的DOA算法運算量很大。
• 如果目標信號和干擾信號在同一個波束內，是無法消除的。
  目標信號和干擾信號在同一個波束內，波束形成是無法分辨出它們的，空間濾波無法進行，自然無法消除。
• 長混響條件下，波束形成性能會下降。
  長混響，比如$T_{60}=300ms$，目標信號和干擾信號會相互泄露到對方的波束，空間濾波性能下降。原因同上。

麥克風的指向性（Directivity pattern of a microphone）

這裏說的是麥克風的指向性，後面將要說的麥克風陣列的指向性，需要區分開。

• 麥克風的指向性是由麥克風的物理特性決定的，它描述了麥克風對特定來波方向的信號增益和相位移動。類似於時不變系統對信號的幅頻響應和相頻響應。
• 來波方向應該是一個三維的，有水平角（elevation angle）和俯仰角（azimuth angle）。爲了簡化問題，先只考慮二維的場景。
• 麥克風的指向性就可以用$H(\omega, \theta)$ 表示，其中$\omega$表示頻率,$\theta$表示角度。如下圖所示，爲某一特定頻率$\omega_0$的麥克風指向性$H(\omega_0, \theta)$
  

信號模型和定義

假設信號都來自遠場

• 麥克風接收到的信號響應，由兩部分響應組成。一部分是麥克風的指向性，一部分是由麥克風位置決定的相位。
  $Y_m(\omega, \theta) = H_m(\omega, \theta) * exp(-j \omega\tau_m(\theta)) * S(\omega)$
  其中$H_m$是麥克風的指向性，$\tau_m$是與麥克風位置相關的延遲，$S(\omega)$是原信號。
• 麥克風陣列接收到的信號，需要將上述信號($m=1,2...M$)用向量形式來表達。
  $Y(\omega,\theta) = d(\omega,\theta)*S(\omega)$
  $d(\omega,\theta) = [H_1(\omega,\theta)exp(-j\omega\tau_1(\theta))...H_M(\omega,\theta)exp(-j\omega\tau_M(\theta))]$
  其中$d$是導向矢量(steering vector)，是由麥克風指向性和麥克風位置決定的。
• 如果所有的麥克風擁有同樣的指向性，$H_0(\omega, \theta)$，則導向矢量可以提取公因式。如果使用的是全指向性麥克風，則有$H_0(\omega, \theta)=1$，導向矢量只由麥克風的位置決定。
  $d(\omega,\theta) = H_0(\omega, \theta)[1, exp(-j\omega\tau_2(\theta)),...,exp(-j\omega\tau_M(\theta))]$
• 麥克風陣列的輸出信號，經過濾波相加(filter-and-sum)之後，得到輸出。
  $Z(\omega, \theta) = F^H(\omega) Y(\omega,\theta) = {F^H(\omega)d(\omega,\theta)}S(\omega)$
  其中$F(\omega)$是濾波器係數。
• 陣列傳遞函數，英文可以是directivity pattern，也可以是transfer function，是等價的。
  $H(\omega, \theta) = Z(\omega, \theta)/S(\omega) = F^H(\omega)d(\omega,\theta)$ (這裏的共軛還沒能理解是怎麼推導的)

評價指標

麥克風陣列的性能主要用白噪聲增益和指向性來評價。前者用來評價陣列在白噪聲場景下的抑制能力，後者用來評價陣列在擴散場噪聲下的陣列增益。其本質都是陣列增益，可以理解爲輸出信噪比除以輸入信噪比，也可以表示爲信號的傳遞函數$||^2$除以噪聲的傳遞函數$||^2$。在表示噪聲的輸出函數之前，先引入噪聲的相關矩陣和相干矩陣的概念，即noise correlation matrix 和 noise coherence matrix。

• 噪聲相關矩陣 noise correlation matrix

• 噪聲相干矩陣 noise coherence matrix
  白噪聲的相干矩陣爲單位陣，即$\Gamma^{white}_{noise}(\omega) = I(\omega)$
  擴散噪聲的相干矩陣可以用以下公式來表示$\Gamma^{diffuse}_{noise}(\omega) = sinc(\omega f_s d/c)$

• 陣列增益函數 array gain
  $G(\omega,\theta)=\frac{SNR_{out}}{SNR_{in}}=\frac{|F^H(\omega)d(\omega,\theta)|^2}{F^H(\omega)\Gamma_{noise}(\omega) F(\omega)}$

• 白噪聲增益 white noise gain
  因爲白噪聲的自相關矩陣是一個單位陣，即$\Gamma^{white}_{noise}(\omega) = I(\omega)$
  $WNG(\omega,\theta)=\frac{|F^H(\omega)d(\omega,\theta)|^2}{F^H(\omega) F(\omega)}$

• 指向性 array directivity index
  $DI(\omega,\theta)=\frac{|F^H(\omega)d(\omega,\theta)|^2}{F^H(\omega)\Gamma^{diffuse}_{noise}(\omega) F(\omega)}$

最大化白噪聲增益

最大化白噪聲增益，即求出一組$F(\omega)$參數，使得白噪聲增益最大。
$F(\omega) = arg\{maxWNG(\omega, \theta)\} = arg\{max\frac{|F^H(\omega)d(\omega,\theta)|^2}{F^H(\omega) F(\omega)}\}$
對於上式，有一個限制條件，分子是1。即對期望方向的信號增益是0dB。這樣最大化問題就轉變爲最小化噪聲輸出功率的問題。
$F(\omega) = arg\{min{F^H(\omega) F(\omega)}\}, s.t. |F^H(\omega)d(\omega,\phi)|=1$
得到最優解爲
$F(\omega) = \frac{d(\omega,\phi) }{|d(\omega,\phi)|^2}$