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先看一下我收到的程序，作爲研究對象的信號是這樣產生的：
T=128;
N=128;
dt=T/N;
t=dt*(1:N);
x=2*cos(2*t-pi/4);
...
（我覺得這個信號存在一點問題，因爲t是從1開始的，所以它的初相應該和-pi/4有點差別吧。）
爲什麼進行FFT，用angle得到相位－頻率特性卻不能反映這個信號的初始相位？
胡廣書的《數字信號處理－理論、算法與實現（第二版）》第三章第八節《關於正弦信號抽樣的討論》，得出了關於正弦信號抽樣的六個結論，最後總結了一個總的原則：抽樣頻率應爲信號頻率的整數倍，抽樣點數應包含整週期。
書中的結論五與採樣頻率和抽樣點數有很大的關聯。結論五主要說只有滿足了上面的那個總的原則，頻譜泄漏纔不會發生。我想不光是幅度譜的頻譜泄漏現象，抽樣頻率和抽樣點數同樣會對相位譜產生影響。
考慮一個無限長的正弦信號（相當於初相爲－90°），如果我們截取它的整數個週期，然後對截短的信號進行週期延拓，則得到的延拓的信號與原無限長正弦沒有區別。
現在我們再次對這個無限長的正弦進行截短，長度爲1.5個週期，然後對截短信號進行週期延拓，看看我們得到了什麼？
下圖、無限長正弦：
下圖、截短信號
下圖、對截短信號週期延拓：
可以看出，此時進行週期延拓得到的信號與原來的正弦信號大相徑庭。新的週期信號是一個週期的偶函數，原無限長正弦是一個週期的奇函數，兩者奇偶性都不一樣了，因此不能指望利用新的信號的DFT求出原信號的初相。exp(-jωt)=cos(ωt)-jsin(ωt)，進行變換的時候，若f(t)爲實偶函數，則f(t)sin(ωt)就是奇函數，對一個奇函數在對稱區間內積分只能得到0，因此實偶函數的傅立葉變換肯定是實的，對一個實數用angle求相位，當然相位是0。而原正弦肯定是初相爲－90°。
我想這就是問題所在，DFT就是DFS，只不過DFT先將有限長信號進行週期延拓，然後求DFS，再截取一個週期。
使用DFT，在有限的觀測時間內採集信號的信息。如若觀測時間內正好得到了整數個正弦週期，則DFT的週期延拓可以不失真的表示原正弦，可是如果觀測時間內得到的信號不是整數個週期，那麼問題隨之而來，就像上面的例子，觀測時間內得到了1.5個週期的正弦，然後進行週期延拓，顯然亂了套。
如果滿足了胡廣書老師所總結的抽樣條件，則對正弦的DFT譜無疑可以很好地反映初相，我寫了兩個例子：
第一個例子，信號只包含一個正弦：
t=linspace(0,2-0.125,16);
x=cos(2*pi*t+pi/4);
X=fft(x);
stem(abs(X));
figure;
stem(angle(X)/pi*180);
幅度譜：
相位譜：
可以看見DFT相位譜第三個點對應正弦的相位，剛好是45°。
第二個例子信號中包含兩個正弦：
t=linspace(0,2-0.125,16);
x=cos(2*pi*t+pi/4)+2*cos(2*pi*0.5*t+pi/8);
X=fft(x);
stem(abs(X));
figure;
stem(angle(X)/pi*180);
幅度譜：
相位譜：
可以看見DFT相位譜第二個和第三個點對應兩個正弦的相位，剛好是22.5°和45°。
如果沒有滿足上面所說的條件，就會得到不準確的結果，有興趣可試試下面的代碼：
t=linspace(0,2.5-0.125,32);
x=cos(2*pi*t+pi/4);
X=fft(x);
stem(abs(X));
figure;
stem(angle(X)/pi*180);
如何克服這個問題？我覺得這非常困難。在不能預知信號頻率的情況下，無法確定採樣頻率和觀測點數。也許可以先進行一次觀測，通過幅度譜估計出正弦的頻率，然後根據頻率調整抽樣頻率，重新對信號進行採樣，使採樣符合上面所述的條件。但是這樣做有很多的問題，例如硬件可能不好實現。而且雖然第二次調整了採樣頻率和抽樣點數，可是初始相位已經無法得到了，因爲第二次採樣不可能再從零時刻開始。
Sandygreta同學說可以這樣做，先以較高的抽樣頻率對信號進行採樣，通過FFT幅度譜估算出正弦信號的頻率，然後計算出滿足抽樣條件的最佳的抽樣頻率和觀測時間，使抽樣頻率爲正弦頻率的整數倍（大於2倍），且觀測時間內能正好得到整數個正弦週期。然後對剛纔採集的信號樣本進行插值，接着使用計算出來的採樣頻率和觀測時間對插值的結果重新採樣，計算FFT，得到初始相位。