一道华为简单算法题记录-汽水瓶

背景

今天公司同事提到了面试一位新人的时候提出的华为的一道题，感觉有点意思，记录下吧。
假设一瓶汽水售价1元，3个瓶盖可以换一瓶汽水，2个瓶子可以换一瓶汽水，问20元可以喝多少汽水。

解法描述

看到这个题目，最直接的做法，就是写个程序，模拟买汽水-换汽水的过程，直到剩余的瓶盖或者瓶体买不到汽水。

然而这样写似乎有点太麻烦了，依稀记得这种换汽水问题是小学的必考题，直到初中学了方程才学会智能的解法。小学时我们经常会遇到这样的问题，汽水1元，2个瓶子可以换一瓶汽水，10元能喝到多少瓶汽水。然后就可以在纸上模拟整个过程了，答案是20瓶。这种题技巧是如果最后只剩下一个空瓶子的时候要向老板借一瓶，然后凑2个瓶子换一瓶汽水，再把最后的2个瓶子还给老板。

到了初中，我们学会了列方程解决问题。就换了一种思路，不再一步步推算了。其实从题目描述来看，瓶子和汽水都是有价值的，而作为消费者我们的目的是为了喝汽水，所以为了喝到最多的汽水，我们要把所有的钱都换成汽水。
设汽水的价值是x，汽水瓶子的价值是y。
则有
$\left\{ \begin{array}{lr} x + y = 1 \\ 2y= x + y \end{array} \right.$
从而解得
$\begin{array}{lr} x = \dfrac{1}{2}\\ y = \dfrac{1}{2} \end{array}$
所以能喝到的汽水是$10/\dfrac{1}{2}=20$瓶。
那么华为的题目也可以用类似的办法做。设瓶盖的价格是x，瓶体的价格是y，汽水的价格是z。
那么我们可以列出下面方程组
$\begin{array}{lr} 3x &= x+y+z\\ 2y &= x+y+z\\ 1 & = x + y + z \end{array}$
解得
$\begin{array}{lr} x = \dfrac{1}{3}\\ y = \dfrac{1}{2}\\ z= \dfrac{1}{6} \end{array}$
所以如果我们可以把钱全部转化为汽水的话，换句话说，允许向老板赊账的话则可以喝$20/\dfrac{1}{6}=120$瓶。
然而，这道题其实不允许赊账。所以直接return 6*x是不行的。
所以老老实实写程序

#include <stdio.h>
int main(){
int money;
const  int price = 1;
while(1){
	scanf("%d",&money);
	int result,hat,body;
	result= money/price;
	hat = result;
	body = result;
	int tmp = 0;
	while(!(hat<3 && body < 2)){
		tmp = hat/3 + body/2;
		result += tmp;
		hat = hat % 3 + tmp;
		body = body % 2 + tmp;
	}
	printf("%d\n",result);
}
return 0;
}

进一步思考

我们开始定义一下喝汽水的步骤，
(1) 首先将钱换成汽水，将汽水喝完。
(2) 尽可能多的将手中所有的瓶子和瓶盖换成汽水，如果换不了则结束。
(3) 继续喝完所有汽水，然后重复步骤二。
按照上述步骤喝汽水，我们可以保证能喝到最多的汽水，最后剩余的瓶子和瓶盖也肯定换不了汽水。
然后开始考虑问题复杂在哪里，在不允许赊账的情况下，最后可能会剩下瓶子和瓶盖转化不成汽水，所以肯定达不到120瓶。
那么最后会剩几个瓶子和瓶盖呢。分类讨论下
（1）瓶子数大于等于2或者瓶盖大于等于3的情况。不可能出现，因为此时还可以继续换汽水。
（2）只剩下瓶子或者只剩下瓶盖的情况。不可能出现，假设按照上述步骤喝，到达最后一步不能再换取新的汽水之前，肯定至少喝完了一瓶汽水，那么肯定剩下至少一个瓶子喝一个瓶盖。
（3）1个瓶子，1个瓶盖。只剩一个瓶子一个瓶盖，说明在到达最后一步之前的喝汽水的步骤时，我们既没有瓶盖也没有瓶子，只有一瓶汽水。那么在获得这一瓶汽水之前的换汽水的步骤里，肯定只有3个瓶盖或者2个瓶子，这喝我们的情况2是一样的，显然是不可能存在的。所以这一瓶汽水只能是在步骤一中花钱买的，即只有1元钱的时候的情况。 所以当只有1元钱时，我们最终会剩下一个瓶子和瓶盖，一共价值为$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$元。那么只有$\dfrac{1}{6}$元转化为了汽水，也就是只能喝一瓶。
（4）1个瓶子，2个瓶盖。 经过上述讨论，只剩下了这一种情况，即只要不是1元钱，肯定最后剩下1个瓶子2个瓶盖，价值为$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{6}$元。所以最后相比较可以赊账的情况，会少买7瓶。
下面写程序：

#include <stdio.h>
int main(){
int money;
const  int price = 1;
while(1){
	scanf("%d",&money);
	if(money == 1) printf("1\n");
	else printf("%d\n",6 * money - 7);
}
return 0;
}

推广

假设我们有m元，汽水价格为p，h个瓶盖可以换取一瓶汽水，b个瓶子可以换一瓶汽水。那么可以喝多少瓶汽水呢。
暂时还没有找到很好的规律，随着h和b的增大，可能最终的情况多了起来。如果每次输入都进行更改的话，能想到的还是只是去模拟买汽水的步骤。类似于第一份代码，只不过，把hat和body的限制换成输入。