图说红黑树算法

1. 二叉树

对于一颗普通的二叉树来说，查找时候还是蛮有效率的，只要不是极端的情况。例如下面这种满二叉树来说，时间复杂度为O(logn)。

但是呢，有些时候并不是那么如你所愿，例如，从10到1一直插入到一颗二叉树时，就会出现以下这种情况，查找的时候复杂度实在难受，O(n)

然而对于这种情况的二叉树，每次插入的时候都只管找位置就坐，可能导致树的左右不平衡发展了，这，就是懒的结果了。那么，为了让一颗二叉树保持很好的查询效率，于是乎就产生了：会自我管理树的平衡性的二叉树，称为：红黑树(Red-Black tree)

2. 什么是红黑树

先来看看一颗标准的红黑树是怎么样的：

1. 节点只有两种颜色：红和黑；
2. 根节点和空叶子节点(nil)都为黑
3. 如果某个节点为红色，它的孩子结果都是黑色
4. 任意一个节点到它的空叶子节点(nil)路径上包含相同数量的黑色节点，称之为黑色高度

###　需要额外注意的是：最长的路径(路上节点从黑开始黑红相隔)不能大于２倍的最短路径(路上节点全是黑)

3. 红黑树的操作

1. 查找
2. 插入
3. 删除

对于插入和删除两个操作，有可能会破坏红黑树的平衡，使其不满足红黑树的所有属性。对于破坏平衡的情况，需要对节点进行调整来保持平衡，自我管理能力杠杠的。
那怎么调整呢？大体思路是：调整子树来改变树的结构和修改节点颜色两个主要操作来保持平衡。同时需要朝两个目标处理，

1. 降低树的高度(以防出现一边倒的情况)
   • 保持最大高度为O(logn)
   • 大颗的子树向上移，小颗的子树向下挪
2. 不影响树的有序性

修改节点颜色，主要是：红变黑，或黑变红。现在主要来看一下，如何调整子树结构。

3.1逆时针旋转(左旋转)和顺时针旋转(右旋转)

个人觉得，顺逆时针会比较好理解，文章以此来描述。旋转操作是指通过旋转某个节点，同时来调整子树的结构，牵一发而动子树的效果。举个逆时针的例子，如下图

把节点A按逆时针旋转，步骤是：

1. 把节点A的右孩子，变成它的父节点(P’)
2. 把P’的左孩子变成节点A的右孩子

解析：由于第1步操作完之后，P’可能存在3个子节点，不符合二叉树的性质，所以需要把其中一个过继到其它节点上；完成第二步之后，就可以把P’的子节点变成2个了
根据步骤把上面的树旋转一下(颜色可以先忽略，主要是讲旋转逻辑)：

好了，逆时针的例子解析完了，对于顺时针应该是可以举一反三了，因为它们是对称的，操作的时候把节点的左换成右，右换成左即可。下面把原始图的结果列一下。

也许聪明的小伙伴可以看到，对于同一个子树，逆时顺和顺时针操作完之后，其实就变回去原来的结构了，可以仔细看看上面两个例子

3.2 插入操作

维护一颗红黑树性质不变，当插入或移除节点的时候，如果这个操作破坏了红黑树的属性，则需要把它调整一下。主要步骤有：

1. 插入节点Node, 并且标记为红色(改不了字体颜色，算了)
2. 把相关节点调整颜色和旋转节点来保持红黑树的属性。

敲黑板了，为什么要标红色？因为：标红只会破坏红黑树的两条属性。(往上翻，第2条和第3条)

当插入一个新的节点(Node)时，此时可能有以下4种情况：

1. Node为根节点
2. Node的叔叔为红色
3. Node的叔叔为黑色(这种情况还细分为两种)
   1. Node的爷爷, 父亲，和Node自己本身都是一个分支方向继承下来的，称之为直线型关系。如下图：
   2. Node的爷爷和父亲关系方向，与Node和Node父亲的关系方向不一样，称之为三角型关系。如下图：

现在来详说一下对于以上情况每一种情况的调整步骤，统一定义新插入的节点为Node：
Case 1: Node为根节点

• 把Node从红色标为黑色即可，这是最简单的情况

Case 2: Node的叔叔为红色

• 把祖上两辈的节点颜色取反上色，即把爷爷，父亲和叔叔节点取反上色。过程图如下：
  Case 3: Node的叔叔为黑色(直接型关系)
• 旋转爷爷节点到另一侧(根据当前状态选择顺逆时针)
• 把Node的原始爷爷节点和父亲节点重新上色
  Case 4:Node的叔叔为黑色(三色型关系)
• 顺时针旋转Node的父节点
  以上就是红黑树的基础内容与插入操作相关情况和步骤。下面我们来用例子演示一下。

4.例子

我们先从简单的开始吧。模拟插入数据【10, 5, 1】

1. 在一颗空树上插入一个节点10(符合插入操作的Case 1的情况)
2. 再插入一个节点5，符合正常红黑树，不需要处理
3. 再插入一个节点1，破坏规则3(红色节点的子节点都是黑色)，故需要调整。根据目前状态选择调整策略：节点1的叔叔节点为黑色的空节点，并且是直线型关系，所以采用Case 3处理过程。根据当前状态，顺时针旋转爷爷节点，然后再把原始的爷爷节点和父亲节点的颜色修改一下，于是可以恢复到正常的红黑树了。

这个就是简单的自我调整平衡的二叉树，亦即是红黑树。它的应用场景比较明确，就是有序的map会使用到它，例如C++的map，它是有序的，并且查找时间复杂度为O(logn)。篇幅有限，删除操作留待后面再补，因为实在太长了。感谢你的耐心阅读，希望能对你有所帮助。